a) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức

\(T = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2  + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[2]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2  - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\).

b) Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(A = \sqrt {{n^2} + {n^2}{{(n + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \) là số nguyên dương nhưng không là số chính phương.

b)Theo định lý Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{b}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a};{x_3} + {x_4} = \frac{b}{c};{x_3}{x_4} = \frac{a}{c}\) 

\(\begin{array}{l}T = \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \frac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{{{x_3}{x_4}{x_1}}} + \frac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}\\ = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}\\ = \frac{{\frac{b}{a} + \frac{b}{c}}}{{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}}\\ = \frac{b}{a} + \frac{b}{c}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{a + 4c}}{a} + \frac{{a + 4c}}{c}\\ = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c}\end{array}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(T = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c} \ge 5 + 2\sqrt {\frac{{4c}}{a}.\frac{a}{c}}  = 9\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2c,b = 6c\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\)là 9.

a)Ta có:

\(OA = OH\)(cùng là bán kính của \(\left( O \right)\))

\(IA = IH\)(cùng là bán kính của \(\left( I \right)\))

Suy ra \(OI\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\).

Ta có:

\(OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB \Rightarrow O\) là trung điểm \(AB\).

\(IE = IA = IC = \frac{1}{2}AC \Rightarrow I\)là trung điểm \(AC\).

Xét ta có:

\(O\) là trung điểm \(AB\)

\(I\) là trung điểm \(AC\)

Suy ra \(OI\)là đường trung bình của 

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}BC\).

\(\begin{array}{l}DE = OD + IE - OI = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC\\ \Leftrightarrow 2DE = AB + AC - BC\end{array}\)

b)Ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\widehat {BHC} = \widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

Suy ra \(B,H,C\)thẳng hàng.

Lại có \(\widehat {AHB} = 90^\circ  \Rightarrow AH \bot BC\).

vuông tại \(A \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

\(\widehat {NMH} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AH\])

\(\widehat {MNH} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung \[AH\])

Suy ra \(\widehat {MNH} + \widehat {NMH} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

vuông tại \(H \Rightarrow \widehat {MHN} = 90^\circ \).

\(\widehat {SNM} = \widehat {IAN} = \widehat {NHC}\)

\(\widehat {SMN} = \widehat {OAM} = \widehat {BHM}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\widehat {SMN} + \widehat {SNM} = \widehat {CHN} + \widehat {BHM} = 180^\circ  - \widehat {MHN}\\ = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \end{array}\)

vuông tại \(S \Rightarrow \widehat {MSN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ISO} = 90^\circ \)

Suy ra \(S\)thuộc đường tròn đường kính \(OI\).

Mà \(O\)và \(I\)cố định nên đường tròn đường kính \(OI\)cố định.

Vậy \(S\)di chuyển trên đường tròn đường kính \(OI\)cố định khi đường thẳng \(\left( d \right)\)quay quanh \(A\).
c)

Ta có \(\widehat {MHN} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {THN} = 90^\circ  \Rightarrow TN\)là đường kính của \(\left( I \right)\)

\( \Rightarrow N,I,T\)thẳng hàng.

\(NT\) là đường kính của \(\left( I \right) \Rightarrow \widehat {NAT} = 90^\circ  \Rightarrow TA \bot NM\)

\(\begin{array}{l}\widehat {THN} = 90^\circ  \Rightarrow NH \bot MT\\\widehat {MSN} = 90^\circ  \Rightarrow MS \bot NT\end{array}\)

Xét ta có \(MS,NH,AT\)là ba đường cao.

Do đó \(MS,NH,AT\)đồng quy.