a) Phân tích đa thức \(P(x,y) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử. Từ đó chứng minh \(4{x^2} + {y^3} \ge 3x{y^2}\) với mọi số thực \(x;y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0\).

b) Cho các số thực \({x_1};{x_2}; \ldots ,{x_{21}}\) thỏa mãn \({x_1};{x_2}; \ldots :{x_{21}} \ge  - 2\) và \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 +  \ldots  + x_{21}^3 = 12\). Chứng minh \({x_1} + {x_2} +  \ldots  + {x_{21}} \le 18\).

Cho các phương trình ( ẩn \(x\)) \(a{x^2} - bx + c = 0{\rm{   }}\left( 1 \right)\) và \(c{x^2} - bx + a = 0{\rm{    }}\left( 2 \right)\) với \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(a - b + 4c = 0\).

a) Chứng minh các phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)đều có hai nghiệm dương phân biệt.

b) Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) và \({x_3};{x_4}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \frac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{{{x_3}{x_1}{x_1}}} + \frac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}\).

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Các đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính\(AB\), và \((I)\) đường kính \(AC\) cắt nhau tại điểm thứ hai là \(H\left( {H \ne A} \right)\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) thay đổi đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(M\) và cắt đường tròn \(\left( I \right)\) tại \(N\) (\(A\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\)).

a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn \((O)\), \(\left( I \right)\) lần lượt tại\(D,E\). Chứng minh OI là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\) và \(AB + AC - BC = 2DE\).

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyển trên một đường tròn cố định khi đường thẳng (d) quay quanh A.

c) Giả sử đường thẳng \(MH\) cắt đường trong \(\left( I \right)\) tại điểm thứ hai là \(T{\rm{ }}(T \ne H)\). Chứng minh rằng ba điểm \(N,I,T\) thẳng hàng và ba đường thẳng \(MS,AT,NH\) đồng quy.

a) Không dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức

\(T = \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2  + \sqrt {2 + \sqrt 3 } }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt[2]{{10 - 6\sqrt 3 }}} \right)}}{{2\sqrt 2  - \sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\).

b) Với mọi số nguyên dương \(n\), chứng minh \(A = \sqrt {{n^2} + {n^2}{{(n + 1)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \) là số nguyên dương nhưng không là số chính phương.

a) Hai số tư nhiên khác nhau được gọi là "thân thiết" nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho \(3\). Hỏi tập họp \(X = \{ 1;2;3; \ldots ;2021\} \) có bao nhiêu cặp số "thân thiết" (không phân biệt thứ tự)?

b) Trong kỳ thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường \(T\) có \(n\) môn \((n \in \mathbb{N},n \ge 5)\), mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi một khác nhau;

- Với 2 môn thi bất kì, luôn tìm được 2 môn thi khác có tổng số lượng thi sinh tham gia bằng với tổng số lưọng thí sinh của 2 môn đó. Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức?