a) Phân tích đa thức \(P(x,y) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử. Từ đó chứng minh \(4{x^2} + {y^3} \ge 3x{y^2}\) với mọi số thực \(x;y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0\).
b) Cho các số thực \({x_1};{x_2}; \ldots ,{x_{21}}\) thỏa mãn \({x_1};{x_2}; \ldots :{x_{21}} \ge - 2\) và \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + \ldots + x_{21}^3 = 12\). Chứng minh \({x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{21}} \le 18\).
a) Phân tích đa thức \(P(x,y) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử. Từ đó chứng minh \(4{x^2} + {y^3} \ge 3x{y^2}\) với mọi số thực \(x;y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0\).
b) Cho các số thực \({x_1};{x_2}; \ldots ,{x_{21}}\) thỏa mãn \({x_1};{x_2}; \ldots :{x_{21}} \ge - 2\) và \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + \ldots + x_{21}^3 = 12\). Chứng minh \({x_1} + {x_2} + \ldots + {x_{21}} \le 18\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a)\(\begin{array}{l}P\left( {x,y} \right) = 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3}\\ = 4{x^3} - 4x{y^2} + x{y^2} + {y^3}\\ = 4x\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {y^2}\left( {x + y} \right)\\ = 4x\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {y^2}\left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + y} \right)\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right)\\ = \left( {x + y} \right){\left( {2x - y} \right)^2}\end{array}\)
Với mọi số thực \(x,y\) thỏa mãn \(x + y \ge 0\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right){\left( {2x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 3x{y^2} + {y^3} \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{x^3} + {y^3} \ge 3x{y^2}\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\y = 2x\end{array} \right.\)
b)Với mọi \(i\) có giá trị từ 1 đến 21, ta có:
\(\begin{array}{l}{x_i} + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_i} + 2} \right){\left( {{x_i} - 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow x_i^3 - 3{x_i} + 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow x_i^3 + 2 \ge 3{x_i}\left( * \right)\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x_i} = 1\) hoặc \({x_i} = - 2\).
Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\)ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^3 + 2 \ge 3{x_1}\\x_2^3 + 2 \ge 3{x_2}\\...\\x_{21}^3 + 2 \ge 3{x_{21}}\end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 + ... + x_{21}^3 + 42 \ge 3\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{21}}} \right)\\ \Leftrightarrow 54 \ge 3\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{21}}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + ... + {x_{21}} \le 18\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi có 1 số bằng \( - 2\)và 20 số còn lại bằng 1. (không chỉ ra dấu “=” trừ 0,25)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a)\(a - b + 4c = 0 \Leftrightarrow b = a + 4c\)
\(\begin{array}{l}{\Delta _1} = {\Delta _2} = {b^2} - 4ac = {\left( {a + 4c} \right)^2} - 4ac\\ = {a^2} + 4ac + 16{c^2} = {\left( {a + 2c} \right)^2} + 12{c^2}\end{array}\)
\( \Rightarrow {\Delta _1} > 0,{\Delta _2} > 0\)
Suy ra các phương trình \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt.
Theo định lý Vi-ét ta có:
\({S_1} = \frac{b}{a},{S_2} = \frac{b}{c},{P_1} = \frac{c}{a},{P_2} = \frac{a}{c}\)
Vì \(a,b,c\)là các số thực dương nên\({S_1},{S_2},{P_1},{P_2}\) đều lớn hơn 0.
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} > 0\\{S_1} > 0\\{P_1} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt.
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} > 0\\{S_2} > 0\\{P_2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt.
b)Theo định lý Vi-ét ta có:
\({x_1} + {x_2} = \frac{b}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a};{x_3} + {x_4} = \frac{b}{c};{x_3}{x_4} = \frac{a}{c}\)
\(\begin{array}{l}T = \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \frac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{{{x_3}{x_4}{x_1}}} + \frac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}\\ = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}\\ = \frac{{\frac{b}{a} + \frac{b}{c}}}{{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}}\\ = \frac{b}{a} + \frac{b}{c}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{a + 4c}}{a} + \frac{{a + 4c}}{c}\\ = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c}\end{array}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(T = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c} \ge 5 + 2\sqrt {\frac{{4c}}{a}.\frac{a}{c}} = 9\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2c,b = 6c\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\)là 9.
Lời giải
a)Ta có:
\(OA = OH\)(cùng là bán kính của \(\left( O \right)\))
\(IA = IH\)(cùng là bán kính của \(\left( I \right)\))
Suy ra \(OI\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\).
Ta có:
\(OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB \Rightarrow O\) là trung điểm \(AB\).
\(IE = IA = IC = \frac{1}{2}AC \Rightarrow I\)là trung điểm \(AC\).
Xét ta có:
\(O\) là trung điểm \(AB\)
\(I\) là trung điểm \(AC\)
Suy ra \(OI\)là đường trung bình của
\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}BC\).
\(\begin{array}{l}DE = OD + IE - OI = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC\\ \Leftrightarrow 2DE = AB + AC - BC\end{array}\)
b)Ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(\widehat {BHC} = \widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
Suy ra \(B,H,C\)thẳng hàng.
Lại có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \Rightarrow AH \bot BC\).
vuông tại \(A \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)
\(\widehat {NMH} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AH\])
\(\widehat {MNH} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung \[AH\])
Suy ra \(\widehat {MNH} + \widehat {NMH} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)
vuông tại \(H \Rightarrow \widehat {MHN} = 90^\circ \).
\(\widehat {SNM} = \widehat {IAN} = \widehat {NHC}\)
\(\widehat {SMN} = \widehat {OAM} = \widehat {BHM}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\widehat {SMN} + \widehat {SNM} = \widehat {CHN} + \widehat {BHM} = 180^\circ - \widehat {MHN}\\ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \end{array}\)
vuông tại \(S \Rightarrow \widehat {MSN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ISO} = 90^\circ \)
Suy ra \(S\)thuộc đường tròn đường kính \(OI\).
Mà \(O\)và \(I\)cố định nên đường tròn đường kính \(OI\)cố định.
Vậy \(S\)di chuyển trên đường tròn đường kính \(OI\)cố định khi đường thẳng \(\left( d \right)\)quay quanh \(A\).
c)
Ta có \(\widehat {MHN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {THN} = 90^\circ \Rightarrow TN\)là đường kính của \(\left( I \right)\)
\( \Rightarrow N,I,T\)thẳng hàng.
\(NT\) là đường kính của \(\left( I \right) \Rightarrow \widehat {NAT} = 90^\circ \Rightarrow TA \bot NM\)
\(\begin{array}{l}\widehat {THN} = 90^\circ \Rightarrow NH \bot MT\\\widehat {MSN} = 90^\circ \Rightarrow MS \bot NT\end{array}\)
Xét ta có \(MS,NH,AT\)là ba đường cao.
Do đó \(MS,NH,AT\)đồng quy.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập