a) Hai số tư nhiên khác nhau được gọi là "thân thiết" nếu tổng bình phương của chúng chia hết cho \(3\). Hỏi tập họp \(X = \{ 1;2;3; \ldots ;2021\} \) có bao nhiêu cặp số "thân thiết" (không phân biệt thứ tự)?

b) Trong kỳ thi chọn đội tuyển năng khiếu của trường \(T\) có \(n\) môn \((n \in \mathbb{N},n \ge 5)\), mọi môn thi đều có thí sinh tham gia và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

- Có ít nhất 5 môn có số lượng thí sinh tham gia thi đôi một khác nhau;

- Với 2 môn thi bất kì, luôn tìm được 2 môn thi khác có tổng số lượng thi sinh tham gia bằng với tổng số lưọng thí sinh của 2 môn đó. Hỏi kỳ thi có ít nhất bao nhiêu môn được tổ chức?

b)Theo định lý Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{b}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a};{x_3} + {x_4} = \frac{b}{c};{x_3}{x_4} = \frac{a}{c}\) 

\(\begin{array}{l}T = \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \frac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{{{x_3}{x_4}{x_1}}} + \frac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}\\ = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}\\ = \frac{{\frac{b}{a} + \frac{b}{c}}}{{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}}\\ = \frac{b}{a} + \frac{b}{c}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{a + 4c}}{a} + \frac{{a + 4c}}{c}\\ = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c}\end{array}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(T = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c} \ge 5 + 2\sqrt {\frac{{4c}}{a}.\frac{a}{c}}  = 9\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2c,b = 6c\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\)là 9.

a)Ta có:

\(OA = OH\)(cùng là bán kính của \(\left( O \right)\))

\(IA = IH\)(cùng là bán kính của \(\left( I \right)\))

Suy ra \(OI\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\).

Ta có:

\(OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB \Rightarrow O\) là trung điểm \(AB\).

\(IE = IA = IC = \frac{1}{2}AC \Rightarrow I\)là trung điểm \(AC\).

Xét ta có:

\(O\) là trung điểm \(AB\)

\(I\) là trung điểm \(AC\)

Suy ra \(OI\)là đường trung bình của 

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}BC\).

\(\begin{array}{l}DE = OD + IE - OI = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC\\ \Leftrightarrow 2DE = AB + AC - BC\end{array}\)

b)Ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\widehat {BHC} = \widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

Suy ra \(B,H,C\)thẳng hàng.

Lại có \(\widehat {AHB} = 90^\circ  \Rightarrow AH \bot BC\).

vuông tại \(A \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

\(\widehat {NMH} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AH\])

\(\widehat {MNH} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung \[AH\])

Suy ra \(\widehat {MNH} + \widehat {NMH} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

vuông tại \(H \Rightarrow \widehat {MHN} = 90^\circ \).

\(\widehat {SNM} = \widehat {IAN} = \widehat {NHC}\)

\(\widehat {SMN} = \widehat {OAM} = \widehat {BHM}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\widehat {SMN} + \widehat {SNM} = \widehat {CHN} + \widehat {BHM} = 180^\circ  - \widehat {MHN}\\ = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \end{array}\)

vuông tại \(S \Rightarrow \widehat {MSN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ISO} = 90^\circ \)

Suy ra \(S\)thuộc đường tròn đường kính \(OI\).

Mà \(O\)và \(I\)cố định nên đường tròn đường kính \(OI\)cố định.

Vậy \(S\)di chuyển trên đường tròn đường kính \(OI\)cố định khi đường thẳng \(\left( d \right)\)quay quanh \(A\).
c)

Ta có \(\widehat {MHN} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {THN} = 90^\circ  \Rightarrow TN\)là đường kính của \(\left( I \right)\)

\( \Rightarrow N,I,T\)thẳng hàng.

\(NT\) là đường kính của \(\left( I \right) \Rightarrow \widehat {NAT} = 90^\circ  \Rightarrow TA \bot NM\)

\(\begin{array}{l}\widehat {THN} = 90^\circ  \Rightarrow NH \bot MT\\\widehat {MSN} = 90^\circ  \Rightarrow MS \bot NT\end{array}\)

Xét ta có \(MS,NH,AT\)là ba đường cao.

Do đó \(MS,NH,AT\)đồng quy.