Hình tròn có bán kính là \(12\)và số đo cung \(AmB\) là \({45^ \circ }\) như hình vẽ bên dưới, khi đó độ dài của cung \(AmB\) là

a) Xét tứ giác \(AHCK\)

Ta có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot BC\))

Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(A,H,C\)cùng thuộc đương tròn đường kính \(AC\) (1)

Vì \(H\) và \(K\) đối xứng qua \(AC\) nên \(AC\) là đường trung trực của \(HK\).

Suy ra \(AH = AK;CH = CK\)(tính chất đường trung trực)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta AKC\) có:

\(AC\) là cạnh chung; \(AH = AK\); \(CH = CK\)

Suy ra \(\Delta AHC\)=\(\Delta AKC\)(cạnh – cạnh- cạnh)

Suy ra \(\widehat {AKC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Tam giác \(ACK\) vuông tại \(K\) nên \(A,K,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A,C,H,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\).

Vậy tứ giác \(AHCK\)là tứ giác nội tiếp.

b) Vì \(\Delta BEH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH\) nên \(\widehat {BEH} = 90^\circ .\)

suy ra \(HE \bot AB\) nên \(\widehat {AEH} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AEH\) có chung \(\widehat {BAH}\), \(\widehat {AHB} = \widehat {AEH} = 90^\circ .\)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AH}}\)

Suy ra \(AE.AB = A{H^2}\) (3)

Vì \(\Delta HFC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH\) nên \(\widehat {HFC} = 90^\circ .\)

Suy ra \(HF \bot AC\) nên \[\widehat {AFH} = 90^\circ \]

Xét \(\Delta AHC\) và \[{\rm{AF}}H\] có \(\widehat {HAC}\) chungm \(\widehat {AHC} = \widehat {AFH} = 90^\circ \)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AH}}\)

Suy ra \(AF.AC = A{H^2}\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AE.AB = \,AF.AC\)

c) Vì \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có góc \(ABC\) chung, \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra (góc góc)

Nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(AH.BC = AB.AC\) suy ra \(BC = \frac{{AB.AC}}{{AH}}\)

Từ (3) và (4) ta có \(AE = \frac{{A{H^2}}}{{AB}};{\rm{AF}} = \frac{{A{H^2}}}{{AC}}\)

Do đó \(AE.A\,F.BC = \frac{{A{H^2}}}{{AB}}.\frac{{A{H^2}}}{{AC}}.\frac{{AB.AC}}{{AH}} = A{H^3}\) (điều phải chứng minh)

Gọi giá niên yết của một bàn gỗ và một tủ quần áo lần lượt là \(x,y\) (triệu đồng) (\(0 < x,y < 25\))

Giá niên yết một bàn gỗ và một tủ quần áo có tổng số tiền là 25 triệu đồng nên ta có phương trình \(x + y = 25\,\,\left( 1 \right)\).

Giá một bàn giảm \(30\% \) giá niên yết nên \(x - 30\% x = 0,7x\).

Giá một tủ quần áo giảm 20% giá niên yết \(y - 20\% y = 0,8y\)

Vì cô An đã mua hai món đồ trên với tổng số tiền là 19 triệu đồng nên ta có phương trình là \(0,7x + 0.8y = 19\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\0,7x + 0,8y = 19\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 15\end{array} \right.\).

Vậy giá niên yết của một bàn gỗ là 10 triệu đồng, giá niên yết của một tủ quần áo là 15 triệu đồng