Một chủ hộ kinh doanh nhà trọ ở Hòn Sơn có 33 phòng trọ cho thuê, muốn định giá thuê phòng trong kỳ nghỉ hè sắp tới. Người chủ thấy rằng: nếu giá cho thuê mỗi ngày là \(250.000\) đ/1 phòng thì sẽ không có phòng trống. Nếu cứ mỗi lần tăng giá một phòng trọ lên 20.000 đ/1 ngày thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi ngày cao nhất?

a) Xét tứ giác \(AHCK\)

Ta có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) (vì \(AH \bot BC\))

Tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(A,H,C\)cùng thuộc đương tròn đường kính \(AC\) (1)

Vì \(H\) và \(K\) đối xứng qua \(AC\) nên \(AC\) là đường trung trực của \(HK\).

Suy ra \(AH = AK;CH = CK\)(tính chất đường trung trực)

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta AKC\) có:

\(AC\) là cạnh chung; \(AH = AK\); \(CH = CK\)

Suy ra \(\Delta AHC\)=\(\Delta AKC\)(cạnh – cạnh- cạnh)

Suy ra \(\widehat {AKC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).

Tam giác \(ACK\) vuông tại \(K\) nên \(A,K,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A,C,H,K\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\).

Vậy tứ giác \(AHCK\)là tứ giác nội tiếp.

b) Vì \(\Delta BEH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH\) nên \(\widehat {BEH} = 90^\circ .\)

suy ra \(HE \bot AB\) nên \(\widehat {AEH} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AEH\) có chung \(\widehat {BAH}\), \(\widehat {AHB} = \widehat {AEH} = 90^\circ .\)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AH}}\)

Suy ra \(AE.AB = A{H^2}\) (3)

Vì \(\Delta HFC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(CH\) nên \(\widehat {HFC} = 90^\circ .\)

Suy ra \(HF \bot AC\) nên \[\widehat {AFH} = 90^\circ \]

Xét \(\Delta AHC\) và \[{\rm{AF}}H\] có \(\widehat {HAC}\) chungm \(\widehat {AHC} = \widehat {AFH} = 90^\circ \)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AH}}\)

Suy ra \(AF.AC = A{H^2}\,\,\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(AE.AB = \,AF.AC\)

c) Vì \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có góc \(ABC\) chung, \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)

Suy ra (góc góc)

Nên \(\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) hay \(AH.BC = AB.AC\) suy ra \(BC = \frac{{AB.AC}}{{AH}}\)

Từ (3) và (4) ta có \(AE = \frac{{A{H^2}}}{{AB}};{\rm{AF}} = \frac{{A{H^2}}}{{AC}}\)

Do đó \(AE.A\,F.BC = \frac{{A{H^2}}}{{AB}}.\frac{{A{H^2}}}{{AC}}.\frac{{AB.AC}}{{AH}} = A{H^3}\) (điều phải chứng minh)

\(P = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right).\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} + \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}}} \right)\,\)

\[P = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}.\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right).\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right)\,\]

\(p = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}.\left( {\frac{{a + 2\sqrt a + 1 + a - 2\sqrt a + 1}}{{a - 1}}} \right)\)

\(p = \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}.\frac{{2a + 2}}{{a - 1}}\)

\(p = \frac{{a + 1}}{{\sqrt a }}\).

Vậy \(P = \frac{{a + 1}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0;a \ne 1.\)