1. Giải phương trình \(4\sqrt {x + 3}  + 4\sqrt x  = 3x + 9\).

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1}\\{\sqrt {3{x^2} + 33}  + 3\sqrt {2x + y - 1}  = 3x + y + 6}\end{array}} \right.\).

1. Giải phương trình \(4\sqrt {x + 3}  + 4\sqrt x  = 3x + 9\).

Điều kiện xác định: \(x \ge 0\), ta có:

\(4\sqrt {x + 3}  + 4\sqrt x  = 3x + 9\)

\( \Leftrightarrow (x + 3 - 4\sqrt {x + 3}  + 4) + 2(x - 2\sqrt x  + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow {(\sqrt {x + 3}  - 2)^2} + 2{(\sqrt x  - 1)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x + 3}  - 2 = 0}\\{\sqrt x  - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3 = 4}\\{x = 1}\end{array} \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,({\mathop{\rm tm}\nolimits} \,\,DKXD)} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\sqrt {3{x^2} + 33}  + 3\sqrt {2x + y - 1}  = 3x + y + 6\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y - 1 \ge 0}\\{x + y \ne 0}\end{array}} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^2} - 2xy + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\)

\( \Leftrightarrow {(x + y)^3} - 2xy(x + y) + 2xy = (x + y)\)

Đặt \(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\) ta có:

\({S^3} - 2SP + 2P = S\) 

\( \Leftrightarrow S(S + 1)(S - 1) - 2P(S - 1) = 0\)  

\( \Leftrightarrow (S - 1)\left( {{S^2} + S - 2P} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = 1}\\{{S^2} + S - 2P = 0}\end{array}} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1}\\{{x^2} + {y^2} + x + y = 0}\end{array}} \right.\)

TH1: Với \(x + y = 1 \Rightarrow y = 1 - x\), thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(\sqrt {3{x^2} + 33}  + 3\sqrt {2x + 1 - x - 1}  = 3x + 1 - x + 6\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} + 33}  + 3\sqrt x  = 2x + 7\)

\( \Rightarrow 3{x^2} + 33 + 2\sqrt {3{x^2} + 33} .3\sqrt x  + 9x = 4{x^2} + 28x + 49\)

\( \Rightarrow 6\sqrt {3{x^2} + 33}  \cdot \sqrt x  = {x^2} + 19x + 16\)

\( \Rightarrow 36\left( {3{x^2} + 33} \right)x = {x^4} + 361{x^2} + 256 + 38{x^3} + 32{x^2} + 608x\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - 70{x^3} + 393{x^2} - 580x + 256 = 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2}(x - 4)(x - 64) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 \Rightarrow y = 0}&{(TM)}\\{x = 4 \Rightarrow y =  - 3}&{(TM)}\\{x = 64 \Rightarrow y =  - 63}&{(TM)}\end{array}} \right.\)

TH2: Với \({x^2} + {y^2} + x + y = 0\). Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn \(x\).

Để tồn tại \(x\) thì \(\Delta  = 1 - 4\left( {{y^2} + y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4{y^2} + 4y - 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {y + \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \right)\left( {y + \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le y \le \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Tương tự ta cũng có \( - \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2} \le x \le \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra \(2x + y - 1 \le 2.\frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2} - 1 < 0\), không thỏa mãn điều kiện \(2x + y - 1 \ge 0\) nên trường hợp này hệ vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \(\{ (1;0),(4; - 3),(64; - 63)\} \).