Một hộp chứa 4 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp. Tính xác suất để chọn được ít nhất một viên bi vàng.

Lời giải

a) Biến cố “Lấy được 4 viên bi từ 15 viên bi trong hộp” là biến cố chắc chắn.

b) Nếu \(A\) là biến cố “4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu” thì biến cố đối của \(A\) là “4 viên bi lấy ra không có đủ 3 màu”.

c) Số phần tử của không gian mẫu của phép thử là \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^4 = 1365\).

d) Gọi \(B\) là biến cố “4 viên bi lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ”.

Khi đó \(\overline B \) là biến cố “4 viên bi lấy ra không có viên bi màu đỏ”.

Khi đó \(n\left( {\overline B } \right) = C_9^4 = 126\)\( \Rightarrow n\left( B \right) = 1365 - 126 = 1239\).

Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{1239}}{{1365}} = \frac{{59}}{{65}}\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.

Lời giải

Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được

3,2   3,6   4,4   4,5   5,0   5,4   6,0   6,7   7,0   7,2   7,7   7,8   8,4   8,6   8,7.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là \(R = 8,7 - 3,2 = 5,5\).

b) Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline x  = \frac{{3,2 + 3,6 + 4,4 + 4,5 + 5,0 + 5,4 + 6,0 + 6,7 + 7,0 + 7,2 + 7,7 + 7,8 + 8,4 + 8,6 + 8,7}}{{15}} = 6,28\).

Phương sai của mẫu số liệu là

\[{s^2} = \frac{1}{{15}}\left( \begin{array}{l}{\left( {3,2 - 6,28} \right)^2} + {\left( {3,6 - 6,28} \right)^2} + {\left( {4,4 - 6,28} \right)^2} + {\left( {4,5 - 6,28} \right)^2} + {\left( {5,0 - 6,28} \right)^2} + {\left( {5,4 - 6,28} \right)^2}\\ + {\left( {6,0 - 6,28} \right)^2} + {\left( {6,7 - 6,28} \right)^2} + {\left( {7,0 - 6,28} \right)^2} + {\left( {7,2 - 6,28} \right)^2} + {\left( {7,7 - 6,28} \right)^2}\\ + {\left( {7,8 - 6,28} \right)^2} + {\left( {8,4 - 6,28} \right)^2} + {\left( {8,6 - 6,28} \right)^2} + {\left( {8,7 - 6,28} \right)^2}\end{array} \right)\]

\( \approx 3,2\).

c) Mẫu số liệu có 15 giá trị nên \({Q_2} = 6,7\).

\({Q_1}\) là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái \({Q_2}\). Khi đó \({Q_1} = 4,5\).

\({Q_3}\) là trung vị của nửa mẫu số liệu bên phải \({Q_2}\). Khi đó \({Q_3} = 7,8\).

Suy ra \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7,8 - 4,5 = 3,3\).

Có \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 4,5 - 1,5 \cdot 3,3 =  - 0,45\); \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 7,8 + 1,5 \cdot 3,3 = 12,75\).

Trong mẫu số liệu không có giá trị nào nhỏ hơn \( - 0,45\) và không có giá trị nào lớn hơn \(12,75\).

Do đó mẫu số liệu không có giá trị bất thường.

d) Khoảng biến thiên là hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên không âm.

Khoảng tứ phân vị là hiệu của tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất mà dãy số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm nên không âm.

Phương sai và độ lệch chuẩn đều không âm.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;    d) Sai.