Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{n - 1}^2 + \frac{{{P_n}}}{{{P_{n - 2}}}} = 449\left( {n - 1} \right)\) có bao nhiêu ước số nguyên dương?

Điều kiện \(n \ge 3\)

\(C_{n - 1}^2 + \frac{{{P_n}}}{{{P_{n - 2}}}} = 449\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!2!}} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 449\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + n\left( {n - 1} \right) = 449\left( {n - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {\frac{{n - 2}}{2} + n - 449} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {3n - 900} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 300\end{array} \right.\). Kết hợp điều kiện ta có \(n = 300\).

Vậy 300 có 18 ước nguyên dương.