Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {1;2} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta :x - y + 1 = 0\) và trục \(Ox\).

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + {2^2} - 9} = 2\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(B\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo một dây cung có độ dài lớn nhất thì \(\Delta \) phải đi qua tâm \(I\).

Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {IB} = \left( { - 1; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(3x - y - 7 = 0\).

Suy ra \(a = 3;c = - 7\). Do đó \(a + c = - 4\).

c) Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2}} = 4 > R\); \(IB = \sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} > R\).

Do đó hai điểm \(A,B\) đều nằm ngoài đường tròn.

d)

Gọi \(N\) là giao điểm của \(IA\) với đường tròn \(\left( C \right)\).

Trên đoạn \(IN\) lấy điểm \(P\) sao cho \(IP = \frac{1}{2}IN\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IP} = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA} \)\( \Rightarrow P\left( {2;2} \right)\).

Có \(\frac{{IM}}{{IP}} = 2;\frac{{IA}}{{IM}} = 2\).

Ta có \(\Delta IAM\) đồng dạng \(\Delta IMP\)\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IM}} = \frac{{IM}}{{IP}} = \frac{{AM}}{{MP}} = 2 \Rightarrow 2MP = AM\).

Khi đó \(P = MA + 2MB = 2MP + 2MB \ge 2PB = 6\).

Đáp án: a) Sai;      b) Đúng;     c) Đúng;     d) Sai.

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1;b = - 1;c = - 3\).

Mà \({a^2} + {b^2} - c > 0\) nên phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\) là phương trình đường tròn. Chọn D.