Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vị trí của một chất điểm \(K\) tại thời điểm \(t\left( {0 \le t \le 180} \right)\) có tọa độ là \(\left( {3 + 2\cos t;4 + 2\sin t} \right)\). Quỹ đạo chuyển động của chất điểm \(K\) có phương trình dạng \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = a\). Giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Hạ \(IH \bot AB\).

Suy ra \(I,R = IH\) là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\).

\(AC\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(BD\) có phương trình là \(4x - 3y - 6 = 0\).

Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 7 = 0\\4x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

Ta có \(AC = 2d\left( {A,BD} \right) = 2 \cdot \frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4\). Suy ra \(AB = 2\sqrt 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2 \).

Xét \(\Delta AIH\) có \(IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD\) có phương trình là \({\left( {x - \frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{2}{5}} \right)^2} = 2\).

Suy ra \(a = \frac{9}{5};b = \frac{2}{5};{R^2} = 2\). Vậy \(25ab{R^2} = 36\).

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 5\).

c) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\) nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {3;4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(3\left( {x - 6} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - 26 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;      b) Đúng;     c) Sai;     d) Đúng.