Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 9\)

2) Rút gọn biểu thức \(B\)

3) Tìm giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) đạt giá trị nguyên lớn nhất

Gọi độ dài \(AH = x\,\left( {\rm{m}} \right)\) với \(0 < x < 40\). Khi đó \(HD = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(EF\) cắt \(DC\) tại \(M\)

Khi đó \(\widehat {DHG} = \widehat {DAM} = \widehat {BEF} = 45^\circ \)

Do đó tam giác \(DHG\) vuông cân tại \(D\)

Suy ra \(DH = DG = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Như vậy \(GC = DC - DG = 30 - \left( {40 - x} \right) = x - 10\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có: \({S_{AHE}} = \frac{1}{2}\, \cdot AH\, \cdot \,AE = \frac{1}{2}\, \cdot \,x \cdot 20 = 10x\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) 

\({S_{DHG}} = \frac{1}{2}\, \cdot DH\, \cdot DG = \frac{1}{2}\, \cdot \,{\left( {40 - x} \right)^2}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{FCG}} = \frac{1}{2}\, \cdot CG\, \cdot \,CF = \frac{1}{2}\, \cdot \,\left( {x - 10} \right)\, \cdot \,\left( {40 - 10} \right) = 15\left( {x - 10} \right)\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{EBF}} + {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}} \right)\)

Đặt \(P = {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 10x + \frac{{{{\left( {40 - x} \right)}^2}}}{2} + 15\left( {x - 10} \right)\)

\(P = 10x + \frac{{{x^2} - 80x + 1600}}{2} + 15x - 150\)

\(P = \frac{{{x^2}}}{2} - 15x + 650\)

\(2P = {x^2} - 30x + 1300\)

\[2P = {\left( {x - 15} \right)^2} + 1075 \ge 1075\]

Do đó \(P \ge 537,5\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 15\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh đất trồng hoa là \(30\,.\,40 - \frac{1}{2}\, \cdot \,{10^2} - 537,5 = 612,5\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

1) Gọi \(x,y\) (ngày) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (\(x,y > 6\)). Khi đó:

Trong một ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Trong một ngày người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Trong một ngày cả hai người làm được \(\frac{1}{6}\) (công việc)  nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\).   (1)

Nếu người thứ nhất làm \(3\)ngày, người thứ hai làm \(7\)ngày thì họ làm xong việc nên ta có phương trình: \(\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\).    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt , \(b = \frac{1}{y}\), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{6}\\3a + 7b = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\left\{ \begin{array}{l}7a + 7b = \frac{7}{6}\\3a + 7b = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\left\{ \begin{array}{l}4a = \frac{1}{6}\\a + b = \frac{1}{6}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\,\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{24}}\\b = \frac{1}{{48}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Mà \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\) nên:\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{48}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\)           \(\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 48\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(24\) ngày, người thứ hai hoàn thành công việc trong \(48\)ngày.

2) Gọi số câu trả lời đúng của bạn Mai là \(x\) (câu). ĐK \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,x \le 25\)

Số câu trả lời sai của bạn Mai là \(25 - x\) (câu)

Số điểm được cộng khi trả lời đúng là \(4x\) (điểm)

Số điểm bị trừ khi trả lời sai là \(1\;{\rm{.}}\;\left( {25 - x} \right)\) (điểm)

Vì bạn Mai đã làm \[25\] câu và đạt hơn \[82\] điểm nên ta có \(4x - \left( {25 - x} \right) \ge 82\)

\(4x - 25 + x \ge 82\)

\(5x \ge 107\)

\(x \ge \frac{{107}}{5}\)

\(x \ge 21,4\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,x \le 25\), \(x\) là số nhỏ nhất nên \(x = 22\)

Vậy bạn Mai cần trả lời ít nhất \(22\) câu hỏi đúng để đạt được số điểm trên \(82\) điểm.