1) Tính diện tích phần viên trắng men xanh của đĩa sứ trong hình vẽ bên (kết quả làm tròn đến phần nguyên \(\pi  = 3,14\)).

2) Cho đường tròn \((O;R)\) và điểm \(A\)nằm ngoài đường tròn. Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(d \bot OA\). Lấy điểm \(M\) bất kì trên \(d\) (\(M\) là tiếp điểm). Kẻ tiếp tuyến \(MB\) với đường tròn \((O)\) (\(B\) là tiếp điểm).

a) Chứng minh bốn điểm \(M,A,B,O\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(OM\) tại \(H\), đường thẳng này cắt \(OA\) tại \(K\) và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \(C\). Chứng minh rằng \(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) và \(OK \cdot OA = OH \cdot OM = {R^2}\)      

c) Kẻ đường kính \(BE\) của đường tròn \((O)\). Kẻ\(CG \bot BE\) tại \(G\),\(ME\) cắt \(CG\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(CG\).

Gọi độ dài \(AH = x\,\left( {\rm{m}} \right)\) với \(0 < x < 40\). Khi đó \(HD = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(EF\) cắt \(DC\) tại \(M\)

Khi đó \(\widehat {DHG} = \widehat {DAM} = \widehat {BEF} = 45^\circ \)

Do đó tam giác \(DHG\) vuông cân tại \(D\)

Suy ra \(DH = DG = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Như vậy \(GC = DC - DG = 30 - \left( {40 - x} \right) = x - 10\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có: \({S_{AHE}} = \frac{1}{2}\, \cdot AH\, \cdot \,AE = \frac{1}{2}\, \cdot \,x \cdot 20 = 10x\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) 

\({S_{DHG}} = \frac{1}{2}\, \cdot DH\, \cdot DG = \frac{1}{2}\, \cdot \,{\left( {40 - x} \right)^2}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{FCG}} = \frac{1}{2}\, \cdot CG\, \cdot \,CF = \frac{1}{2}\, \cdot \,\left( {x - 10} \right)\, \cdot \,\left( {40 - 10} \right) = 15\left( {x - 10} \right)\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{EBF}} + {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}} \right)\)

Đặt \(P = {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 10x + \frac{{{{\left( {40 - x} \right)}^2}}}{2} + 15\left( {x - 10} \right)\)

\(P = 10x + \frac{{{x^2} - 80x + 1600}}{2} + 15x - 150\)

\(P = \frac{{{x^2}}}{2} - 15x + 650\)

\(2P = {x^2} - 30x + 1300\)

\[2P = {\left( {x - 15} \right)^2} + 1075 \ge 1075\]

Do đó \(P \ge 537,5\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 15\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh đất trồng hoa là \(30\,.\,40 - \frac{1}{2}\, \cdot \,{10^2} - 537,5 = 612,5\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

1) Khi \(x = 9\left( {tm} \right)\) giá trị biểu thức \(A\) là :

       \(A = \frac{{2.\sqrt 9  - 3}}{{\sqrt 9  - 1}}\)\( = \frac{{6 - 3}}{{3 - 1}}\)\( = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\)khi \(x = 9\)

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 - 8\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

3) \(P = A.B\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 > 0\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} < 2\)\( \Rightarrow P < 2\) (1)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 5\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 3\)\( \Rightarrow P \ge  - 3\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \( \Rightarrow  - 3 \le P < 2\), mà \(P \in \mathbb{Z}\), \(P\,m{\rm{ax}}\) nên \(P\, = 1\)

       \(2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 5\)\( \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 16\)là giá trị cần tìm.