1) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong \[6\]ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau trong \[3\] ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong \[4\] ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

2) Bạn Mai làm một bài thi Toán gồm \[30\] câu trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng \[4\] điểm, mỗi câu sai bị trừ \[1\] điểm, câu nào không làm thì không bị trừ và cũng không được cộng điểm. Bạn Mai đã làm \[25\] câu và đạt hơn \[82\] điểm. Hãy cho biết bạn Mai cần trả lời ít nhất bao nhiêu câu hỏi đúng để đạt được số điểm trên?

1) Gọi \(x,y\) (ngày) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (\(x,y > 6\)). Khi đó:

Trong một ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Trong một ngày người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Trong một ngày cả hai người làm được \(\frac{1}{6}\) (công việc)  nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\).   (1)

Nếu người thứ nhất làm \(3\)ngày, người thứ hai làm \(7\)ngày thì họ làm xong việc nên ta có phương trình: \(\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\).    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt , \(b = \frac{1}{y}\), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{6}\\3a + 7b = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\left\{ \begin{array}{l}7a + 7b = \frac{7}{6}\\3a + 7b = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\left\{ \begin{array}{l}4a = \frac{1}{6}\\a + b = \frac{1}{6}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\,\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{24}}\\b = \frac{1}{{48}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Mà \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\) nên:\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{48}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\)           \(\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 48\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(24\) ngày, người thứ hai hoàn thành công việc trong \(48\)ngày.

2) Gọi số câu trả lời đúng của bạn Mai là \(x\) (câu). ĐK \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,x \le 25\)

Số câu trả lời sai của bạn Mai là \(25 - x\) (câu)

Số điểm được cộng khi trả lời đúng là \(4x\) (điểm)

Số điểm bị trừ khi trả lời sai là \(1\;{\rm{.}}\;\left( {25 - x} \right)\) (điểm)

Vì bạn Mai đã làm \[25\] câu và đạt hơn \[82\] điểm nên ta có \(4x - \left( {25 - x} \right) \ge 82\)

\(4x - 25 + x \ge 82\)

\(5x \ge 107\)

\(x \ge \frac{{107}}{5}\)

\(x \ge 21,4\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,x \le 25\), \(x\) là số nhỏ nhất nên \(x = 22\)

Vậy bạn Mai cần trả lời ít nhất \(22\) câu hỏi đúng để đạt được số điểm trên \(82\) điểm.