1) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm trong \[6\]ngày thì xong công việc. Hai người làm cùng nhau trong \[3\] ngày thì người thứ nhất được chuyển đi làm công việc khác, người thứ hai làm một mình trong \[4\] ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

2) Bạn Mai làm một bài thi Toán gồm \[30\] câu trắc nghiệm, mỗi câu đúng được cộng \[4\] điểm, mỗi câu sai bị trừ \[1\] điểm, câu nào không làm thì không bị trừ và cũng không được cộng điểm. Bạn Mai đã làm \[25\] câu và đạt hơn \[82\] điểm. Hãy cho biết bạn Mai cần trả lời ít nhất bao nhiêu câu hỏi đúng để đạt được số điểm trên?

1) Khi \(x = 9\left( {tm} \right)\) giá trị biểu thức \(A\) là :

       \(A = \frac{{2.\sqrt 9  - 3}}{{\sqrt 9  - 1}}\)\( = \frac{{6 - 3}}{{3 - 1}}\)\( = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\)khi \(x = 9\)

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 - 8\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

3) \(P = A.B\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 > 0\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} < 2\)\( \Rightarrow P < 2\) (1)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 5\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 3\)\( \Rightarrow P \ge  - 3\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \( \Rightarrow  - 3 \le P < 2\), mà \(P \in \mathbb{Z}\), \(P\,m{\rm{ax}}\) nên \(P\, = 1\)

       \(2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 5\)\( \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 16\)là giá trị cần tìm.

Gọi độ dài \(AH = x\,\left( {\rm{m}} \right)\) với \(0 < x < 40\). Khi đó \(HD = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(EF\) cắt \(DC\) tại \(M\)

Khi đó \(\widehat {DHG} = \widehat {DAM} = \widehat {BEF} = 45^\circ \)

Do đó tam giác \(DHG\) vuông cân tại \(D\)

Suy ra \(DH = DG = 40 - x\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Như vậy \(GC = DC - DG = 30 - \left( {40 - x} \right) = x - 10\,\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có: \({S_{AHE}} = \frac{1}{2}\, \cdot AH\, \cdot \,AE = \frac{1}{2}\, \cdot \,x \cdot 20 = 10x\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) 

\({S_{DHG}} = \frac{1}{2}\, \cdot DH\, \cdot DG = \frac{1}{2}\, \cdot \,{\left( {40 - x} \right)^2}\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{FCG}} = \frac{1}{2}\, \cdot CG\, \cdot \,CF = \frac{1}{2}\, \cdot \,\left( {x - 10} \right)\, \cdot \,\left( {40 - 10} \right) = 15\left( {x - 10} \right)\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

\({S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{EBF}} + {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}} \right)\)

Đặt \(P = {S_{AEH}} + {S_{HDG}} + {S_{FGC}}\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = 10x + \frac{{{{\left( {40 - x} \right)}^2}}}{2} + 15\left( {x - 10} \right)\)

\(P = 10x + \frac{{{x^2} - 80x + 1600}}{2} + 15x - 150\)

\(P = \frac{{{x^2}}}{2} - 15x + 650\)

\(2P = {x^2} - 30x + 1300\)

\[2P = {\left( {x - 15} \right)^2} + 1075 \ge 1075\]

Do đó \(P \ge 537,5\)

Dấu  xảy ra khi \(x = 15\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh đất trồng hoa là \(30\,.\,40 - \frac{1}{2}\, \cdot \,{10^2} - 537,5 = 612,5\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).