Một mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 30\,{\rm{m}}\), \(BC = 40\,{\rm{m}}\), có hai vị trí \(E\), \(F\) cố định lần lượt thuộc cạnh \(AB\) và \(BC\) sao cho \(BE = BF = 10\,{\rm{m}}\). Người ta tạo ra một khu đất hình thang \(EFGH\) (\(EF\,{\rm{//}}\,GH\)) để trồng hoa, trong đó các điểm \(G\), \(H\) tương ứng thuộc các cạnh \(CD\) và \(AD\). Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất trồng hoa là bao nhiêu mét vuông?

1) Bán kính lớn của viên trắng men xanh của đĩa sứ là \(20:2 = 10\) cm

Bán kính nhỏ của viên trắng men xanh của đĩa sứ là \(14:2 = 7\) cm

Diện tích phần viên trắng men xanh của đĩa sứ là

\(\pi ({R^2} - {r^2}) = \pi ({10^2} - {7^2}) \approx 160(c{m^2})\)

Vậy diện tích phần viên trắng men xanh của đĩa sứ khoảng \(160c{m^2}\)

2)   

a) \(M,A,B,O\) cùng thuộc 1 đường tròn

\( \Rightarrow \Delta MAO\) vuông tại \(A\) \( \Rightarrow M,A,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \((1)\)

\( \Rightarrow \Delta MBO\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow M,B,O\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\) \( \Rightarrow MABO\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

b) Xét \(\Delta MBO\) và \(\Delta MCO\) có:

\(MB = MC\) (\(M\) thuộc trung trực của \(BC\))

\(OB = OC( = R)\)

\( \Rightarrow \Delta MBO = \Delta MCO(c.c.c)\)

\( \Rightarrow MCO = MBO = 90^\circ \)

\( \Rightarrow MC \bot OC\) tại \(C \in (O)\)

\( \Rightarrow MC\) là tiếp tuyến của \((O)\)

•  \((g.g)\) \( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OM}} = \frac{{OH}}{{OA}}\) \( \Rightarrow OK \cdot OA = OH \cdot OM\)

•  \((g.g)\) \( \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OM}}\) \( \Rightarrow OH \cdot OM = O{B^2} = {R^2}\)

\( \Rightarrow OK \cdot OA = OH \cdot OM = {R^2}\)

c) Vì \(GI\,{\rm{//}}\,BM\) \( \Rightarrow \frac{{BM}}{{GI}} = \frac{{BE}}{{GE}} \Rightarrow \frac{{BM}}{{2GI}} = \frac{{2BO}}{{2GE}} \Rightarrow \frac{{BM}}{{2GI}} = \frac{{BO}}{{GE}}(3)\)

 (gg) \( \Rightarrow \frac{{BO}}{{GE}} = \frac{{BM}}{{GC}}\) (4)

Từ (3)(4) \( \Rightarrow \frac{{BM}}{{2GI}} = \frac{{BM}}{{GC}}\)\( \Rightarrow GC = 2GI\)\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(GC\).

1) Khi \(x = 9\left( {tm} \right)\) giá trị biểu thức \(A\) là :

       \(A = \frac{{2.\sqrt 9  - 3}}{{\sqrt 9  - 1}}\)\( = \frac{{6 - 3}}{{3 - 1}}\)\( = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\)khi \(x = 9\)

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 - 8\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

3) \(P = A.B\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 > 0\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} < 2\)\( \Rightarrow P < 2\) (1)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 5\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 3\)\( \Rightarrow P \ge  - 3\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \( \Rightarrow  - 3 \le P < 2\), mà \(P \in \mathbb{Z}\), \(P\,m{\rm{ax}}\) nên \(P\, = 1\)

       \(2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 5\)\( \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 16\)là giá trị cần tìm.