Một mảnh đất hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 30\,{\rm{m}}\), \(BC = 40\,{\rm{m}}\), có hai vị trí \(E\), \(F\) cố định lần lượt thuộc cạnh \(AB\) và \(BC\) sao cho \(BE = BF = 10\,{\rm{m}}\). Người ta tạo ra một khu đất hình thang \(EFGH\) (\(EF\,{\rm{//}}\,GH\)) để trồng hoa, trong đó các điểm \(G\), \(H\) tương ứng thuộc các cạnh \(CD\) và \(AD\). Hỏi diện tích lớn nhất của khu đất trồng hoa là bao nhiêu mét vuông?

1) Khi \(x = 9\left( {tm} \right)\) giá trị biểu thức \(A\) là :

       \(A = \frac{{2.\sqrt 9  - 3}}{{\sqrt 9  - 1}}\)\( = \frac{{6 - 3}}{{3 - 1}}\)\( = \frac{3}{2}\)

Vậy \(A = \frac{3}{2}\)khi \(x = 9\)

2) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{x - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{5\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{8\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  + 5\sqrt x  - 5 - 8\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]

3) \(P = A.B\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right) - 5}}{{\sqrt x  + 1}}\)\( = 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}}\)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 > 0\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} < 0\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} < 2\)\( \Rightarrow P < 2\) (1)

+) Với \(x \ge 0\) ta có \(\sqrt x  + 1 \ge 1\)\( \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 5\)\( \Rightarrow 2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} \ge  - 3\)\( \Rightarrow P \ge  - 3\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \( \Rightarrow  - 3 \le P < 2\), mà \(P \in \mathbb{Z}\), \(P\,m{\rm{ax}}\) nên \(P\, = 1\)

       \(2 - \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 1}} = 1\)\( \Rightarrow \sqrt x  + 1 = 5\)\( \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 16\)là giá trị cần tìm.

1) Gọi \(x,y\) (ngày) lần lượt là thời gian người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc (\(x,y > 6\)). Khi đó:

Trong một ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) (công việc).

Trong một ngày người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) (công việc).

Trong một ngày cả hai người làm được \(\frac{1}{6}\) (công việc)  nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\).   (1)

Nếu người thứ nhất làm \(3\)ngày, người thứ hai làm \(7\)ngày thì họ làm xong việc nên ta có phương trình: \(\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\).    (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.\).

Đặt , \(b = \frac{1}{y}\), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \frac{1}{6}\\3a + 7b = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\left\{ \begin{array}{l}7a + 7b = \frac{7}{6}\\3a + 7b = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\left\{ \begin{array}{l}4a = \frac{1}{6}\\a + b = \frac{1}{6}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\,\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{24}}\\b = \frac{1}{{48}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Mà \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\) nên:\(\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{24}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{48}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\)           \(\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 48\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(24\) ngày, người thứ hai hoàn thành công việc trong \(48\)ngày.

2) Gọi số câu trả lời đúng của bạn Mai là \(x\) (câu). ĐK \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,x \le 25\)

Số câu trả lời sai của bạn Mai là \(25 - x\) (câu)

Số điểm được cộng khi trả lời đúng là \(4x\) (điểm)

Số điểm bị trừ khi trả lời sai là \(1\;{\rm{.}}\;\left( {25 - x} \right)\) (điểm)

Vì bạn Mai đã làm \[25\] câu và đạt hơn \[82\] điểm nên ta có \(4x - \left( {25 - x} \right) \ge 82\)

\(4x - 25 + x \ge 82\)

\(5x \ge 107\)

\(x \ge \frac{{107}}{5}\)

\(x \ge 21,4\)

Mà \(x \in \mathbb{N}\,;\,\,x \le 25\), \(x\) là số nhỏ nhất nên \(x = 22\)

Vậy bạn Mai cần trả lời ít nhất \(22\) câu hỏi đúng để đạt được số điểm trên \(82\) điểm.