Với \(x \ne 0\) và \(y \ne 0,\) mẫu chung của hai phân thức \[\frac{1}{{{x^2}y}}\] và \[\frac{1}{{2xy}}\] là

Hướng dẫn giải

Điều kiện \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0.\)

Với \[a + b + c = 0,\] ta có \(a + b =  - c;\,\,b + c =  - a;\,\,c + a =  - b.\)

Ta có \(C = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\left( {\frac{c}{{a - b}} + \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}}} \right)\)

\( = \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}}_M + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{a}{{b - c}}}_N + \underbrace {\left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{b}{{c - a}}}_P\)

Xét \(M = \left( {\frac{{a - b}}{c} + \frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right) \cdot \frac{c}{{a - b}}\)

\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \left( {\frac{{b - c}}{a} + \frac{{c - a}}{b}} \right)\)\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{{b^2} - bc + ac - {a^2}}}{{ab}}\)

\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a} \right) - c\left( {b - a} \right)}}{{ab}}\)\( = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{\left( {b - a} \right)\left( {b + a - c} \right)}}{{ab}}\)

\[ = 1 + \frac{c}{{a - b}} \cdot \frac{{ - \left( {a - b} \right)\left( { - c - c} \right)}}{{ab}}\]\[ = 1 + \frac{{c \cdot 2c}}{{ab}} = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}}.\]

Tương tự, \(N = 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}};\,\,P = 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}}.\)

Khi đó \(C = M + N + P = 1 + \frac{{2{c^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{a^3}}}{{abc}} + 1 + \frac{{2{b^3}}}{{abc}} = 3 + \frac{{2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)}}{{abc}}.\)

Mặt khác, do \[a + b + c = 0\] nên ta có \[{\left( {a + b + c} \right)^3} = 0\]

Suy ra \[{\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)c\left( {a + b + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3\left( { - c} \right)\left( { - a} \right)\left( { - b} \right) = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\]

\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc.\]

Vậy \(C = 3 + \frac{{2 \cdot \left( {3abc} \right)}}{{abc}} = 3 + 6 = 9.\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1.\)

b) Với \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \(x \ne 2,\,\,x \ne  - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 =  - 1\)

Do đó \(x =  - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x =  - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A =  - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)