Xét các số thực dương phân biệt \[x,\,\,y\] thỏa mãn \(\frac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3.\) Khi biểu thức \({4^{x + y}} + 16 \cdot {3^{y - x}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \(x + 3y = a - {\log _b}a\) với \[a,\,\,b\] là các số nguyên dương. Tính \(a + b\) (nhập đáp án vào ô trống).
__
Câu hỏi trong đề: Đề tham khảo ĐGNL ĐHQG Hà Nội (HSA) năm 2026-2027 (Đề 11) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có \[\frac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3 \Leftrightarrow y - x = - \left( {x + y} \right){\log _3}2\] thế vào biểu thức \(P = {4^{x + y}} + 16 \cdot {3^{y - x}}\)
Ta được \(P = {4^{x + y}} + 16 \cdot {3^{ - \left( {x + y} \right){{\log }_3}2}} = {4^{x + y}} + 16 \cdot {2^{ - \left( {x + y} \right)}} = {4^{x + y}} + \frac{{16}}{{{2^{x + y}}}}\).
Cách 1: Đặt \(t = {2^{x + y}} > 0\) ta được \(P = {t^2} + \frac{{16}}{t} = f\left( t \right)\) và \(f'\left( t \right) = 2t - \frac{{16}}{{{t^2}}} \Leftrightarrow t = 2\).
Lập bảng biến thiên suy ra \({P_{\min }} = 12\) khi \(t = {2^{x + y}} = 2 \Leftrightarrow x + y = 1.\)
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(P = {2^{2\left( {x + y} \right)}} + \frac{8}{{{2^{x + y}}}} + \frac{8}{{{2^{x + y}}}} \ge 3\sqrt[3]{{8 \cdot 8}} = 12.\)
Dấu xảy ra \({2^{2\left( {x + y} \right)}} = \frac{8}{{{2^{x + y}}}} \Rightarrow {2^{3\left( {x + y} \right)}} = {2^3} \Leftrightarrow x + y = 1\).
Kết hợp với \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\y - x = - {\log _3}2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = {\log _3}2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2}}\\{y = \frac{{1 - {{\log }_3}2}}{2}}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(x + 3y = \frac{{1 + {{\log }_3}2}}{2} + 3 \cdot \frac{{1 - {{\log }_3}2}}{2} = 2 - {\log _3}2 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 3}\end{array} \Rightarrow a + b = 5} \right..\)
Đáp án cần nhập là: 5.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Diện tích đáy bé: \(S = {3^2} = 9\). Diện tích đáy lớn: \(S' = {9^2} = 81\). Chiều cao \(h = 12\).
Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều là:
\(V = \frac{1}{3}h\,\left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right) = \frac{1}{3} \cdot 12\left( {9 + 81 + \sqrt {9 \cdot 81} } \right) = 468\,\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}{\rm{)}}\). Chọn D.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\frac{1}{{x - 1}}} \;{\rm{d}}x\) \[ = \ln \left| {x - 1} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + {C_1}\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + {C_2}\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\].
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2022\\f\left( 2 \right) = 2023\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_2} = 2022\\{C_1} = 2023\end{array} \right..\) Vậy \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x - 1} \right) + 2023\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 1\\\ln \left( {1 - x} \right) + 2022\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 1\end{array} \right.\].
Do đó \(S = f\left( 3 \right) - f\left( { - 1} \right) = \ln 2 + 2023 - \ln 2 - 2022 = 1.\) Chọn C.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập