Cho \(\Delta ABC,\) \(\widehat A = 80^\circ ,AB = AC.\) \(M\) là điểm nằm trong tam giác sao cho \(\widehat {MBC} = 10^\circ ,\) \(\widehat {MCB} = 30^\circ \). Hỏi số đo của \(\widehat {AMB}\) bằng bao nhiêu độ?

Dựng \(\Delta BCD\) đều (\(A,D\) cùng phía so với \(BC\)).

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta CAD\), có:

\(AD\) chung (gt)

\(AB = AC\) (gt)

\(BD = DC\) (\(\Delta BCD\) đều)

Do đó, \(\Delta BAD = \Delta CAD\) (c.g.c)

Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} = 50^\circ \).

Suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {DBC} - \widehat {ABC} = 10^\circ \).

Ta có \(\Delta BAD = \Delta CAD\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)  (hai góc tương ứng)

Do đó, \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = \frac{{360^\circ  - 80^\circ }}{2} = 140^\circ \).

Mà \(\widehat {BMC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {MCB} + \widehat {CBM}} \right) = 140^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BMC} = 140^\circ \).

Do đó, \(\widehat {DBA} = \widehat {MBC} = 10^\circ \)

Xét \(\Delta DAB\) và \(\Delta CMB\), có:

\(BD = BC\) (\(\Delta BCD\) đều)

\(\widehat {DBA} = \widehat {MBC} = 10^\circ \) (cmt)

\(\widehat {BAD} = \widehat {BMC}\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {BDA} = \widehat {BCM}\)

Do đó, \(\Delta DAB = \Delta CMB\) (g.c.g).

Suy ra \(AB = BM\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(\Delta ABM\) cân tại \(B\), \(\widehat {ABM} = 50^\circ  - 10^\circ  = 40^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AMB} = 70^\circ \).