Một đồ lưu niệm bằng thủy tinh có chiều cao bằng \(14\,(cm)\), được thiết kế gồm hai phần, phần dưới là một khối lập phương cạnh bằng \(8\,(cm)\) và phần trên là một phần của khối cầu có đường kính bằng \(8\,(cm)\) (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên cạnh).

a) Đúng, Vì quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên sẽ có phương trình là \(ax + by + c = 0\) (trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng 0).

Vì mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A(0;0;5)\) và \(B(4;0;4)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\4a + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = 0\end{array} \right.\)

Nên quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng \(y = 0\).

b) Sai, Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có phương trình là \({x^2} + {z^2} - 2ax - 2bz + c = 0\) điều kiện \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Vì đường tròn đi qua các điểm \(A(0;0;5)\), \(B(4;0;4)\)nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}0a - 10b + c =  - 25\\ - 8a - 8b + c =  - 32\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\ - 8a + 2b =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\a = \frac{1}{4}b + \frac{7}{8}\end{array} \right.\).

Vì đường tròn đi qua điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = {135^ \circ }\) nên cung  suy ra tam giác \(AIB\) vuông cân tại \(I\) suy ra \(R = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = \frac{{17}}{2}\).

Suy ra \[{\left( {\frac{1}{4}b + \frac{7}{8}} \right)^2} + {b^2} - 10b + 25 = \frac{{17}}{2} \Rightarrow \frac{{17}}{{16}}{b^2} - \frac{{153}}{{16}}b + \frac{{1105}}{{64}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{13}}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Với \(b = \frac{{13}}{2}\) thì \(a = \frac{5}{2},c = 40\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right).\)

Với \(b = \frac{5}{2}\) thì \(a = \frac{3}{2},c = 0\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right).\)

Nhưng do đường tròn chứa cung  như hình vẽ cao độ sẽ lớn hơn cao độ của điểm \(B\) nên ta nhận đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right)\).

c) Đúng, Vì giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) là trục \(Ox\) nên khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là \(d = d\left( {I,Ox} \right) - R = \frac{{13}}{2} - \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \approx 3,58\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng, Điểm gần mặt nước nhất là điểm thấp nhất trên cung tròn (đỉnh vòm). Gọi là \(H\).

Ta cần tính độ dài cung\(AH\).

Xét tam giác \(IAH\) trong mặt phẳng quỹ đạo. \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right),A\left( {0;0;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - \frac{5}{2};0; - \frac{3}{2}} \right)\).

Vector chỉ hướng thẳng đứng xuống dưới từ tâm là \(\overrightarrow v  = (0;0; - 1)\).

Góc quay \(\alpha \) từ \(A\) đến điểm thấp nhất \(H\) được tính qua cosin góc giữa \(IA\) và trục thẳng đứng: \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{z_{IA}}} \right|}}{R} = \frac{{1,5}}{{\sqrt {\frac{{17}}{2}} }}\).

Suy ra \(\alpha  = \arccos \left( {\frac{{1,5}}{{\sqrt {8,5} }}} \right) \approx 1,03{\mathop{\rm rad}\nolimits} \).

Độ dài cung \(L = R \cdot \alpha  = \sqrt {8,5}  \cdot 1,03 \approx 2,915 \cdot 1,03 \approx 3,00\;{\rm{m}}\).

Thời gian bay \(t = \frac{L}{v} = \frac{{3,00}}{2} = 1,5\) giây.

Đáp án: 37.

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu, \(M\) là giao điểm của đường tròn trên mặt đất với trục \(Oy.\) Khi đó

\(I{M^2} = {(IM - 30)^2} + {450^2} \Leftrightarrow IM = \frac{{{{30}^2} + {{450}^2}}}{{2.30}} = 3390{\rm{ km}}{\rm{.}}\)

Tọa độ tâm \(I\) là \(I(0;0; - 3360).\) Phương trình mặt cầu là \((S):{x^2} + {y^2} + {(z + 3360)^2} = {3390^2}.\)

Phương trình đường thẳng \(OA:\left\{ \begin{array}{l}x = 30t\\y =  - 780t\\z = 60t\end{array} \right.\)

Gọi \(B = OA \cap (S)(AB < AO{\rm{ hay }}{z_B} > 0) \Rightarrow OB\) là đoạn đường tên lửa bay trong chỏm cầu.

Ta có phương trình

\({(30t)^2} + {( - 780t)^2} + {(60t + 3360)^2} = 11492100 \Leftrightarrow 612900{t^2} + 403200t - 202500 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{3} \Rightarrow {B_1}\left( {10; - 260;20} \right)\left( {{z_{{B_1}}} > 0} \right)\\t =  - \frac{{225}}{{227}} \Rightarrow {B_2}\left( { - \frac{{6750}}{{227}};\frac{{175500}}{{227}}; - \frac{{13500}}{{227}}} \right)\left( {{z_{{B_2}}} < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B(10; - 260;20)\)

Thời gian cần tìm là

\({t_{OB}} = \frac{{OB}}{7} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{( - 260)}^2} + {{20}^2}} }}{7} = \frac{{10\sqrt {681} }}{7} \approx 37{\rm{ (gi\^a y)}}{\rm{.}}\)