Một đồ lưu niệm bằng thủy tinh có chiều cao bằng \(14\,(cm)\), được thiết kế gồm hai phần, phần dưới là một khối lập phương cạnh bằng \(8\,(cm)\) và phần trên là một phần của khối cầu có đường kính bằng \(8\,(cm)\) (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên cạnh).

Đáp án: 209.

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\) là chiều rộng đáy. Khi đó chiều dài đáy là \(1,5x\left( {\rm{m}} \right)\)

Gọi \(h\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều cao của thùng.

Theo đề bài, thể tích của thùng \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có: \(1,5x \times x \times h = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{1,5{x^2}}} = \frac{2}{{3{x^2}}}\).

Diện tích các mặt bên của thùng là: \({S_{ben}} = 2.1,5x.h + 2xh = 5xh = \frac{{10}}{{3x}}\)

Diện tích các mặt đáy thùng là: \({S_{day}} = 1,5{x^2}\)

Chi phí làm mặt bên là: \({C_{ben}} = 180000.\frac{{10}}{{3x}} = \frac{{600000}}{x}\)

Chi phí làm mặt đáy là: \({C_{day}} = 240000.1,5{x^2} = 360000{x^2}\).

Chi phí để sản xuất 1 thùng là: \(C\left( x \right) = 360000{x^2} + \frac{{600000}}{x}\).

Ta có \(C'\left( x \right) = 720000x - \frac{{600000}}{{{x^2}}}\).

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).

Khi đó chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng là \({C_{\min }} \approx 956392,713\) (đồng).

Số thùng sản xuất tối đa là: \(n = \frac{{200000000}}{{956393,713}} \approx 209,119\)(thùng).

Vậy số thùng tối đa có thể sản xuất là \(209\) thùng.

Đáp án: 37.

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu, \(M\) là giao điểm của đường tròn trên mặt đất với trục \(Oy.\) Khi đó

\(I{M^2} = {(IM - 30)^2} + {450^2} \Leftrightarrow IM = \frac{{{{30}^2} + {{450}^2}}}{{2.30}} = 3390{\rm{ km}}{\rm{.}}\)

Tọa độ tâm \(I\) là \(I(0;0; - 3360).\) Phương trình mặt cầu là \((S):{x^2} + {y^2} + {(z + 3360)^2} = {3390^2}.\)

Phương trình đường thẳng \(OA:\left\{ \begin{array}{l}x = 30t\\y =  - 780t\\z = 60t\end{array} \right.\)

Gọi \(B = OA \cap (S)(AB < AO{\rm{ hay }}{z_B} > 0) \Rightarrow OB\) là đoạn đường tên lửa bay trong chỏm cầu.

Ta có phương trình

\({(30t)^2} + {( - 780t)^2} + {(60t + 3360)^2} = 11492100 \Leftrightarrow 612900{t^2} + 403200t - 202500 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{3} \Rightarrow {B_1}\left( {10; - 260;20} \right)\left( {{z_{{B_1}}} > 0} \right)\\t =  - \frac{{225}}{{227}} \Rightarrow {B_2}\left( { - \frac{{6750}}{{227}};\frac{{175500}}{{227}}; - \frac{{13500}}{{227}}} \right)\left( {{z_{{B_2}}} < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B(10; - 260;20)\)

Thời gian cần tìm là

\({t_{OB}} = \frac{{OB}}{7} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{( - 260)}^2} + {{20}^2}} }}{7} = \frac{{10\sqrt {681} }}{7} \approx 37{\rm{ (gi\^a y)}}{\rm{.}}\)