Một đồ lưu niệm bằng thủy tinh có chiều cao bằng \(14\,(cm)\), được thiết kế gồm hai phần, phần dưới là một khối lập phương cạnh bằng \(8\,(cm)\) và phần trên là một phần của khối cầu có đường kính bằng \(8\,(cm)\) (được mô hình hóa bởi hình vẽ bên cạnh).

a) Đúng, Vì quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên sẽ có phương trình là \(ax + by + c = 0\) (trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng 0).

Vì mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A(0;0;5)\) và \(B(4;0;4)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\4a + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = 0\end{array} \right.\)

Nên quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng \(y = 0\).

b) Sai, Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có phương trình là \({x^2} + {z^2} - 2ax - 2bz + c = 0\) điều kiện \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Vì đường tròn đi qua các điểm \(A(0;0;5)\), \(B(4;0;4)\)nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}0a - 10b + c =  - 25\\ - 8a - 8b + c =  - 32\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\ - 8a + 2b =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\a = \frac{1}{4}b + \frac{7}{8}\end{array} \right.\).

Vì đường tròn đi qua điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = {135^ \circ }\) nên cung  suy ra tam giác \(AIB\) vuông cân tại \(I\) suy ra \(R = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = \frac{{17}}{2}\).

Suy ra \[{\left( {\frac{1}{4}b + \frac{7}{8}} \right)^2} + {b^2} - 10b + 25 = \frac{{17}}{2} \Rightarrow \frac{{17}}{{16}}{b^2} - \frac{{153}}{{16}}b + \frac{{1105}}{{64}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{13}}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Với \(b = \frac{{13}}{2}\) thì \(a = \frac{5}{2},c = 40\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right).\)

Với \(b = \frac{5}{2}\) thì \(a = \frac{3}{2},c = 0\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right).\)

Nhưng do đường tròn chứa cung  như hình vẽ cao độ sẽ lớn hơn cao độ của điểm \(B\) nên ta nhận đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right)\).

c) Đúng, Vì giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) là trục \(Ox\) nên khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là \(d = d\left( {I,Ox} \right) - R = \frac{{13}}{2} - \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \approx 3,58\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng, Điểm gần mặt nước nhất là điểm thấp nhất trên cung tròn (đỉnh vòm). Gọi là \(H\).

Ta cần tính độ dài cung\(AH\).

Xét tam giác \(IAH\) trong mặt phẳng quỹ đạo. \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right),A\left( {0;0;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - \frac{5}{2};0; - \frac{3}{2}} \right)\).

Vector chỉ hướng thẳng đứng xuống dưới từ tâm là \(\overrightarrow v  = (0;0; - 1)\).

Góc quay \(\alpha \) từ \(A\) đến điểm thấp nhất \(H\) được tính qua cosin góc giữa \(IA\) và trục thẳng đứng: \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{z_{IA}}} \right|}}{R} = \frac{{1,5}}{{\sqrt {\frac{{17}}{2}} }}\).

Suy ra \(\alpha  = \arccos \left( {\frac{{1,5}}{{\sqrt {8,5} }}} \right) \approx 1,03{\mathop{\rm rad}\nolimits} \).

Độ dài cung \(L = R \cdot \alpha  = \sqrt {8,5}  \cdot 1,03 \approx 2,915 \cdot 1,03 \approx 3,00\;{\rm{m}}\).

Thời gian bay \(t = \frac{L}{v} = \frac{{3,00}}{2} = 1,5\) giây.

Đáp án: 209.

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\) là chiều rộng đáy. Khi đó chiều dài đáy là \(1,5x\left( {\rm{m}} \right)\)

Gọi \(h\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều cao của thùng.

Theo đề bài, thể tích của thùng \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có: \(1,5x \times x \times h = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{1,5{x^2}}} = \frac{2}{{3{x^2}}}\).

Diện tích các mặt bên của thùng là: \({S_{ben}} = 2.1,5x.h + 2xh = 5xh = \frac{{10}}{{3x}}\)

Diện tích các mặt đáy thùng là: \({S_{day}} = 1,5{x^2}\)

Chi phí làm mặt bên là: \({C_{ben}} = 180000.\frac{{10}}{{3x}} = \frac{{600000}}{x}\)

Chi phí làm mặt đáy là: \({C_{day}} = 240000.1,5{x^2} = 360000{x^2}\).

Chi phí để sản xuất 1 thùng là: \(C\left( x \right) = 360000{x^2} + \frac{{600000}}{x}\).

Ta có \(C'\left( x \right) = 720000x - \frac{{600000}}{{{x^2}}}\).

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).

Khi đó chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng là \({C_{\min }} \approx 956392,713\) (đồng).

Số thùng sản xuất tối đa là: \(n = \frac{{200000000}}{{956393,713}} \approx 209,119\)(thùng).

Vậy số thùng tối đa có thể sản xuất là \(209\) thùng.