Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính \[450{\rm{ km}}\] và chiều cao \(30{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với mặt phẳng \[Oxy\] là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục \[Oz\] hướng lên cao và gốc tọa độ \[O\] trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là \(1{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm \[A(30; - 780;60){\rm{,}}\] dự định bay thẳng với vận tốc không đổi \(7{\rm{ km/s}}\) hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án: 209.

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\) là chiều rộng đáy. Khi đó chiều dài đáy là \(1,5x\left( {\rm{m}} \right)\)

Gọi \(h\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều cao của thùng.

Theo đề bài, thể tích của thùng \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có: \(1,5x \times x \times h = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{1,5{x^2}}} = \frac{2}{{3{x^2}}}\).

Diện tích các mặt bên của thùng là: \({S_{ben}} = 2.1,5x.h + 2xh = 5xh = \frac{{10}}{{3x}}\)

Diện tích các mặt đáy thùng là: \({S_{day}} = 1,5{x^2}\)

Chi phí làm mặt bên là: \({C_{ben}} = 180000.\frac{{10}}{{3x}} = \frac{{600000}}{x}\)

Chi phí làm mặt đáy là: \({C_{day}} = 240000.1,5{x^2} = 360000{x^2}\).

Chi phí để sản xuất 1 thùng là: \(C\left( x \right) = 360000{x^2} + \frac{{600000}}{x}\).

Ta có \(C'\left( x \right) = 720000x - \frac{{600000}}{{{x^2}}}\).

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).

Khi đó chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng là \({C_{\min }} \approx 956392,713\) (đồng).

Số thùng sản xuất tối đa là: \(n = \frac{{200000000}}{{956393,713}} \approx 209,119\)(thùng).

Vậy số thùng tối đa có thể sản xuất là \(209\) thùng.

Đáp án: \(0,56\).

Mặt phẳng \(\left( {CDEF} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4; - 1;8} \right)\).

Þ \(\left( {CDEF} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\vec k;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {1;4;0} \right)\).

Þ Phương trình mặt phẳng \(\left( {CDEF} \right)\): \(1.\left( {x - 4} \right) + 4.\left( {y - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y - 64 = 0\).

Toạ độ điểm \(A\left( {8;5;0} \right)\) và điểm đá bóng là \(K\left( {0;0;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa quỹ đạo của quả bóng có cặp vectơ chỉ phương \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {OA}  = \left( {8;15;0} \right)\)

Þ \(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\vec k;\overrightarrow {OA} } \right] = \left( { - 15;8;0} \right)\)

Þ Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \( - 15.\left( {x - 0} \right) + 8.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 15x - 8y = 0\).

Gọi \(B\)là hình chiếu của đỉnh quỹ đạo parabol của quả bóng xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) Þ \(B \in OA\)

Ta có \(\overrightarrow {OB}  = k.\overrightarrow {OA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = k.{x_A}\\{y_B} = k.{y_A}\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = k.8\\{y_B} = k.15\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{3}{8}\\{y_B} = \frac{{45}}{8}\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;\frac{{45}}{8};0} \right)\)

Gọi \(T\) là hình chiếu của quả bóng bắt đầu bay vào khung thành trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thì toạ độ điểm \(T\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 64\\15x - 8y = 0\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{128}}{{17}}\\y = \frac{{240}}{{17}}\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow T\left( {\frac{{128}}{{17}};\frac{{240}}{{17}};0} \right)\)

Xét hệ trục toạ độ \(Otz\) với tia \(Ot\) cùng hướng với tia \(OA\).

Ta có \(OA = \sqrt {{8^2} + {{15}^2}}  = 17\), \(OB = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{45}}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{51}}{8}\), \(OT = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{{17}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{240}}{{17}}} \right)}^2}}  = 16\).