Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính \[450{\rm{ km}}\] và chiều cao \(30{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với mặt phẳng \[Oxy\] là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục \[Oz\] hướng lên cao và gốc tọa độ \[O\] trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là \(1{\rm{ km}}{\rm{.}}\) Một tên lửa bắt đầu từ vị trí điểm \[A(30; - 780;60){\rm{,}}\] dự định bay thẳng với vận tốc không đổi \(7{\rm{ km/s}}\) hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

a) Đúng, Vì quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên sẽ có phương trình là \(ax + by + c = 0\) (trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng 0).

Vì mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A(0;0;5)\) và \(B(4;0;4)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\4a + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = 0\end{array} \right.\)

Nên quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng \(y = 0\).

b) Sai, Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có phương trình là \({x^2} + {z^2} - 2ax - 2bz + c = 0\) điều kiện \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Vì đường tròn đi qua các điểm \(A(0;0;5)\), \(B(4;0;4)\)nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}0a - 10b + c =  - 25\\ - 8a - 8b + c =  - 32\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\ - 8a + 2b =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\a = \frac{1}{4}b + \frac{7}{8}\end{array} \right.\).

Vì đường tròn đi qua điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = {135^ \circ }\) nên cung  suy ra tam giác \(AIB\) vuông cân tại \(I\) suy ra \(R = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = \frac{{17}}{2}\).

Suy ra \[{\left( {\frac{1}{4}b + \frac{7}{8}} \right)^2} + {b^2} - 10b + 25 = \frac{{17}}{2} \Rightarrow \frac{{17}}{{16}}{b^2} - \frac{{153}}{{16}}b + \frac{{1105}}{{64}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{13}}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Với \(b = \frac{{13}}{2}\) thì \(a = \frac{5}{2},c = 40\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right).\)

Với \(b = \frac{5}{2}\) thì \(a = \frac{3}{2},c = 0\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right).\)

Nhưng do đường tròn chứa cung  như hình vẽ cao độ sẽ lớn hơn cao độ của điểm \(B\) nên ta nhận đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right)\).

c) Đúng, Vì giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) là trục \(Ox\) nên khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là \(d = d\left( {I,Ox} \right) - R = \frac{{13}}{2} - \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \approx 3,58\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng, Điểm gần mặt nước nhất là điểm thấp nhất trên cung tròn (đỉnh vòm). Gọi là \(H\).

Ta cần tính độ dài cung\(AH\).

Xét tam giác \(IAH\) trong mặt phẳng quỹ đạo. \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right),A\left( {0;0;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - \frac{5}{2};0; - \frac{3}{2}} \right)\).

Vector chỉ hướng thẳng đứng xuống dưới từ tâm là \(\overrightarrow v  = (0;0; - 1)\).

Góc quay \(\alpha \) từ \(A\) đến điểm thấp nhất \(H\) được tính qua cosin góc giữa \(IA\) và trục thẳng đứng: \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{z_{IA}}} \right|}}{R} = \frac{{1,5}}{{\sqrt {\frac{{17}}{2}} }}\).

Suy ra \(\alpha  = \arccos \left( {\frac{{1,5}}{{\sqrt {8,5} }}} \right) \approx 1,03{\mathop{\rm rad}\nolimits} \).

Độ dài cung \(L = R \cdot \alpha  = \sqrt {8,5}  \cdot 1,03 \approx 2,915 \cdot 1,03 \approx 3,00\;{\rm{m}}\).

Thời gian bay \(t = \frac{L}{v} = \frac{{3,00}}{2} = 1,5\) giây.

Đáp án: 26.

Ta đi tìm không gian mẫu:

Với \(d4\) là điểm xuất phát. Sau bước thứ nhất, quân Mã có thể đi đến 8 ô gồm:

\(c6,e6,f5,f3,e2,c2,b3,b5\)

Mà quân Mã phải quay về đúng vị trí ban đầu nên vị trí đầu tiên và thứ ba quân Mã đi qua phải thuộc 1 trong 8 điểm ở trên và không được lặp lại trùng nhau.

Ta thấy có 3 kiểu đi để hoàn thành 1 chu trình hoàn chỉnh.

+ Kiểu 1: Quân Mã đi đến ô đầu tiên và thứ ba lần lượt ở \(c6\) và \(e6\). Khi đó ô thứ hai ở \(d8\).

Ta thấy rằng trong 8 cặp ô có dạng giống ví dụ trên, nhưng chỉ có 6 cặp là có thể đi được ô thứ 2 nằm trong bàn cờ theo kiểu đi 1. Do đó số cách đi được là: \(6.2 = 12\) cách.

+ Kiểu 2: Quân Mã đi đến ô đầu tiên và thứ ba lần lượt ở \(c6\) và \(f5\). Khi đó ô thứ hai ở \(e7\).

Ta thấy rằng trong 8 cặp ô có dạng giống ví dụ trên. Do đó số cách đi được là \(8.2 = 16\) cách.

+ Kiểu 3: Quân Mã đi đến ô đầu tiên và thứ ba lần lượt ở \(c6\) và \(f3\). Khi đó ô thứ hai ở \(e5\).

Ta thấy rằng trong 8 cặp ô có dạng giống ví dụ trên. Do đó số cách đi được là \(8.2 = 16\) cách.

Tổng số cách di chuyển để quân Mã quay lại \(d4\) sau 4 bước không trùng nhau là:

\(12 + 16 + 16 = 44\) cách. Do đó \(n\left( \Omega  \right) = 44\).

Để đường đi của quân Mã tạo thành 1 hình vuông

Ta thấy rằng khi đó, quân Mã sẽ có thể đi theo hai hướng cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ.

Ví dụ:

Quân Mã có thể di chuyển theo thứ tự các ô: \(c6,\,\,e7,\,\,f5,\,\,d4\) (theo chiều kim đồng hồ) hoặc di chuyển theo thứ tự: \(c2,\,\,e1,\,\,f3,\,\,d4\) (ngược chiều kim đồng hồ).

Với mỗi hình vuông tạo được, quân Mã có thể đi được 2 chiều. Ta thấy rằng có thể tạo ra 8 hình vuông giống cách đi ở trên, do đó số cách đi có thể xảy ra là: \(8.2 = 16\) cách.

Vậy xác suất đường đi của con mã có 4 điểm đặt đó là 4 đỉnh của một hình vuông là \(\frac{{16}}{{44}} = \frac{4}{{11}}\).

Khi đó \(a + 2b = 26\).