Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông \(ABCD\) với \(AB = \,100\left( m \right),\,DC = 60\left( m \right)\) và \(AD = 40\,\left( m \right)\). Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh \(AB\), biết rằng \(\left( H \right)\) chứa các điểm \(K\) sao cho tích khoảng cách từ \(K\) đến \(AD,\,BC\) luôn bằng \(600\sqrt 2 \,\left( m \right)\). Anh Nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức ăn cho cá được tạo bởi cạnh \(AD,\,DC\) va đường cong Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(A\), bết rằng phần đất xây nhà kho có diện tích \(S = \frac{{1600}}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\). Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án: 209.

Gọi \(x\left( {\rm{m}} \right)\)\(\left( {x > 0} \right)\) là chiều rộng đáy. Khi đó chiều dài đáy là \(1,5x\left( {\rm{m}} \right)\)

Gọi \(h\left( {\rm{m}} \right)\) là chiều cao của thùng.

Theo đề bài, thể tích của thùng \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có: \(1,5x \times x \times h = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{1,5{x^2}}} = \frac{2}{{3{x^2}}}\).

Diện tích các mặt bên của thùng là: \({S_{ben}} = 2.1,5x.h + 2xh = 5xh = \frac{{10}}{{3x}}\)

Diện tích các mặt đáy thùng là: \({S_{day}} = 1,5{x^2}\)

Chi phí làm mặt bên là: \({C_{ben}} = 180000.\frac{{10}}{{3x}} = \frac{{600000}}{x}\)

Chi phí làm mặt đáy là: \({C_{day}} = 240000.1,5{x^2} = 360000{x^2}\).

Chi phí để sản xuất 1 thùng là: \(C\left( x \right) = 360000{x^2} + \frac{{600000}}{x}\).

Ta có \(C'\left( x \right) = 720000x - \frac{{600000}}{{{x^2}}}\).

\(C'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{5}{6}}}\).

Khi đó chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng là \({C_{\min }} \approx 956392,713\) (đồng).

Số thùng sản xuất tối đa là: \(n = \frac{{200000000}}{{956393,713}} \approx 209,119\)(thùng).

Vậy số thùng tối đa có thể sản xuất là \(209\) thùng.

Đáp án: 37.

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu, \(M\) là giao điểm của đường tròn trên mặt đất với trục \(Oy.\) Khi đó

\(I{M^2} = {(IM - 30)^2} + {450^2} \Leftrightarrow IM = \frac{{{{30}^2} + {{450}^2}}}{{2.30}} = 3390{\rm{ km}}{\rm{.}}\)

Tọa độ tâm \(I\) là \(I(0;0; - 3360).\) Phương trình mặt cầu là \((S):{x^2} + {y^2} + {(z + 3360)^2} = {3390^2}.\)

Phương trình đường thẳng \(OA:\left\{ \begin{array}{l}x = 30t\\y =  - 780t\\z = 60t\end{array} \right.\)

Gọi \(B = OA \cap (S)(AB < AO{\rm{ hay }}{z_B} > 0) \Rightarrow OB\) là đoạn đường tên lửa bay trong chỏm cầu.

Ta có phương trình

\({(30t)^2} + {( - 780t)^2} + {(60t + 3360)^2} = 11492100 \Leftrightarrow 612900{t^2} + 403200t - 202500 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{3} \Rightarrow {B_1}\left( {10; - 260;20} \right)\left( {{z_{{B_1}}} > 0} \right)\\t =  - \frac{{225}}{{227}} \Rightarrow {B_2}\left( { - \frac{{6750}}{{227}};\frac{{175500}}{{227}}; - \frac{{13500}}{{227}}} \right)\left( {{z_{{B_2}}} < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B(10; - 260;20)\)

Thời gian cần tìm là

\({t_{OB}} = \frac{{OB}}{7} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{( - 260)}^2} + {{20}^2}} }}{7} = \frac{{10\sqrt {681} }}{7} \approx 37{\rm{ (gi\^a y)}}{\rm{.}}\)