Một doanh nghiệp vận tải muốn đóng các thùng gỗ để chứa hàng hóa trong quá trình vận chuyển. Mỗi thùng được thiết kế theo dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, đáy có thể tích \(1{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\). Để đảm bảo phù hợp với thiết bị xếp dỡ, thùng được thiết kế sao cho chiều dài của đáy gấp \(1,5\)lần chiều rộng.Biết chi phí vật liệu làm mặt đáy là \(240.000\)đồng/m², chi phí vật liệu làm mặt bên là \(180.000\)đồng/m² (bỏ qua các chi phí khác như lắp ráp, vận chuyển, hao hụt vật liệu,…). Hỏi với số tiền là \(200\)triệu đồng, doanh nghiệp có thể sản xuất tối đa bao nhiêu thùng gỗ?

Đáp án: 37.

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu, \(M\) là giao điểm của đường tròn trên mặt đất với trục \(Oy.\) Khi đó

\(I{M^2} = {(IM - 30)^2} + {450^2} \Leftrightarrow IM = \frac{{{{30}^2} + {{450}^2}}}{{2.30}} = 3390{\rm{ km}}{\rm{.}}\)

Tọa độ tâm \(I\) là \(I(0;0; - 3360).\) Phương trình mặt cầu là \((S):{x^2} + {y^2} + {(z + 3360)^2} = {3390^2}.\)

Phương trình đường thẳng \(OA:\left\{ \begin{array}{l}x = 30t\\y =  - 780t\\z = 60t\end{array} \right.\)

Gọi \(B = OA \cap (S)(AB < AO{\rm{ hay }}{z_B} > 0) \Rightarrow OB\) là đoạn đường tên lửa bay trong chỏm cầu.

Ta có phương trình

\({(30t)^2} + {( - 780t)^2} + {(60t + 3360)^2} = 11492100 \Leftrightarrow 612900{t^2} + 403200t - 202500 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{3} \Rightarrow {B_1}\left( {10; - 260;20} \right)\left( {{z_{{B_1}}} > 0} \right)\\t =  - \frac{{225}}{{227}} \Rightarrow {B_2}\left( { - \frac{{6750}}{{227}};\frac{{175500}}{{227}}; - \frac{{13500}}{{227}}} \right)\left( {{z_{{B_2}}} < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B(10; - 260;20)\)

Thời gian cần tìm là

\({t_{OB}} = \frac{{OB}}{7} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{( - 260)}^2} + {{20}^2}} }}{7} = \frac{{10\sqrt {681} }}{7} \approx 37{\rm{ (gi\^a y)}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(0,56\).

Mặt phẳng \(\left( {CDEF} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4; - 1;8} \right)\).

Þ \(\left( {CDEF} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\vec k;\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {1;4;0} \right)\).

Þ Phương trình mặt phẳng \(\left( {CDEF} \right)\): \(1.\left( {x - 4} \right) + 4.\left( {y - 15} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y - 64 = 0\).

Toạ độ điểm \(A\left( {8;5;0} \right)\) và điểm đá bóng là \(K\left( {0;0;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa quỹ đạo của quả bóng có cặp vectơ chỉ phương \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\), \(\overrightarrow {OA}  = \left( {8;15;0} \right)\)

Þ \(\left( \alpha  \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\left[ {\vec k;\overrightarrow {OA} } \right] = \left( { - 15;8;0} \right)\)

Þ Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): \( - 15.\left( {x - 0} \right) + 8.\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 15x - 8y = 0\).

Gọi \(B\)là hình chiếu của đỉnh quỹ đạo parabol của quả bóng xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) Þ \(B \in OA\)

Ta có \(\overrightarrow {OB}  = k.\overrightarrow {OA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = k.{x_A}\\{y_B} = k.{y_A}\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 = k.8\\{y_B} = k.15\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{3}{8}\\{y_B} = \frac{{45}}{8}\\{z_B} = 0\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3;\frac{{45}}{8};0} \right)\)

Gọi \(T\) là hình chiếu của quả bóng bắt đầu bay vào khung thành trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thì toạ độ điểm \(T\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 64\\15x - 8y = 0\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{128}}{{17}}\\y = \frac{{240}}{{17}}\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow T\left( {\frac{{128}}{{17}};\frac{{240}}{{17}};0} \right)\)

Xét hệ trục toạ độ \(Otz\) với tia \(Ot\) cùng hướng với tia \(OA\).

Ta có \(OA = \sqrt {{8^2} + {{15}^2}}  = 17\), \(OB = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\frac{{45}}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{51}}{8}\), \(OT = \sqrt {{{\left( {\frac{{128}}{{17}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{240}}{{17}}} \right)}^2}}  = 16\).