Trong trận đấu giữa Thụy Điển và Anh tại giải vô địch bóng đá thế giới, khi thời gian trận đấu sắp kết thúc, Zlatan Ibrahimović đã thực hiện một cú xe đạp chồng ngược móc bóng từ khoảng cách xa vào lưới đội tuyển Anh. Đây được coi là một trong những bàn thắng đẹp nhất lịch sử bóng đá thế giới với khoảng cách xa nhất từng được ghi bằng kỹ thuật này. Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, tại thời điểm Ibra tung người móc bóng quả bóng thuộc tia \(Oz\) và có độ cao\(2m\), bay theo quỹ đạo của một Parabol thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đất rơi xuống đất tại vị trí điểm \(A\) nằm trong khung thành. Biết \(d\left( {A,Oy} \right) = AH = 8\left( {H \in Oy} \right)\) và \(OH = 15\). Sau khi bay lên không trung quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại điểm có hoành độ \(x = 3\). Tại thời điểm bóng bắt đầu bay vào khung thành (tức là bóng nằm trên vạch kẻ ngang của khung thành) thì độ cao của quả bóng so với mặt đất là bao nhiêu mét? Biết rằng khung thành \(CDEF\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất và đi qua 2 điểm \(M\left( {4;15; - 2} \right),N\left( {8;14;6} \right)\). (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

a) Đúng, Vì quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên sẽ có phương trình là \(ax + by + c = 0\) (trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng 0).

Vì mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A(0;0;5)\) và \(B(4;0;4)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\4a + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = 0\end{array} \right.\)

Nên quỹ đạo bay của chim bói cá thuộc mặt phẳng \(y = 0\).

b) Sai, Đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có phương trình là \({x^2} + {z^2} - 2ax - 2bz + c = 0\) điều kiện \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Vì đường tròn đi qua các điểm \(A(0;0;5)\), \(B(4;0;4)\)nên ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}0a - 10b + c =  - 25\\ - 8a - 8b + c =  - 32\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\ - 8a + 2b =  - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 10b - 25\\a = \frac{1}{4}b + \frac{7}{8}\end{array} \right.\).

Vì đường tròn đi qua điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = {135^ \circ }\) nên cung  suy ra tam giác \(AIB\) vuông cân tại \(I\) suy ra \(R = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = \frac{{17}}{2}\).

Suy ra \[{\left( {\frac{1}{4}b + \frac{7}{8}} \right)^2} + {b^2} - 10b + 25 = \frac{{17}}{2} \Rightarrow \frac{{17}}{{16}}{b^2} - \frac{{153}}{{16}}b + \frac{{1105}}{{64}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{{13}}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\].

Với \(b = \frac{{13}}{2}\) thì \(a = \frac{5}{2},c = 40\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right).\)

Với \(b = \frac{5}{2}\) thì \(a = \frac{3}{2},c = 0\) đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{3}{2};0;\frac{5}{2}} \right).\)

Nhưng do đường tròn chứa cung  như hình vẽ cao độ sẽ lớn hơn cao độ của điểm \(B\) nên ta nhận đường tròn chứa quỹ đạo bay của chim bói cá có tâm \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right)\).

c) Đúng, Vì giao điểm của hai mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\) là trục \(Ox\) nên khoảng cách ngắn nhất mà chim bói cá bay xuống sát với mặt nước nhất là \(d = d\left( {I,Ox} \right) - R = \frac{{13}}{2} - \sqrt {\frac{{17}}{2}}  \approx 3,58\,\left( {\rm{m}} \right)\).

d) Đúng, Điểm gần mặt nước nhất là điểm thấp nhất trên cung tròn (đỉnh vòm). Gọi là \(H\).

Ta cần tính độ dài cung\(AH\).

Xét tam giác \(IAH\) trong mặt phẳng quỹ đạo. \(I\left( {\frac{5}{2};0;\frac{{13}}{2}} \right),A\left( {0;0;5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( { - \frac{5}{2};0; - \frac{3}{2}} \right)\).

Vector chỉ hướng thẳng đứng xuống dưới từ tâm là \(\overrightarrow v  = (0;0; - 1)\).

Góc quay \(\alpha \) từ \(A\) đến điểm thấp nhất \(H\) được tính qua cosin góc giữa \(IA\) và trục thẳng đứng: \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{z_{IA}}} \right|}}{R} = \frac{{1,5}}{{\sqrt {\frac{{17}}{2}} }}\).

Suy ra \(\alpha  = \arccos \left( {\frac{{1,5}}{{\sqrt {8,5} }}} \right) \approx 1,03{\mathop{\rm rad}\nolimits} \).

Độ dài cung \(L = R \cdot \alpha  = \sqrt {8,5}  \cdot 1,03 \approx 2,915 \cdot 1,03 \approx 3,00\;{\rm{m}}\).

Thời gian bay \(t = \frac{L}{v} = \frac{{3,00}}{2} = 1,5\) giây.

Đáp án: 37.

Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu, \(M\) là giao điểm của đường tròn trên mặt đất với trục \(Oy.\) Khi đó

\(I{M^2} = {(IM - 30)^2} + {450^2} \Leftrightarrow IM = \frac{{{{30}^2} + {{450}^2}}}{{2.30}} = 3390{\rm{ km}}{\rm{.}}\)

Tọa độ tâm \(I\) là \(I(0;0; - 3360).\) Phương trình mặt cầu là \((S):{x^2} + {y^2} + {(z + 3360)^2} = {3390^2}.\)

Phương trình đường thẳng \(OA:\left\{ \begin{array}{l}x = 30t\\y =  - 780t\\z = 60t\end{array} \right.\)

Gọi \(B = OA \cap (S)(AB < AO{\rm{ hay }}{z_B} > 0) \Rightarrow OB\) là đoạn đường tên lửa bay trong chỏm cầu.

Ta có phương trình

\({(30t)^2} + {( - 780t)^2} + {(60t + 3360)^2} = 11492100 \Leftrightarrow 612900{t^2} + 403200t - 202500 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{3} \Rightarrow {B_1}\left( {10; - 260;20} \right)\left( {{z_{{B_1}}} > 0} \right)\\t =  - \frac{{225}}{{227}} \Rightarrow {B_2}\left( { - \frac{{6750}}{{227}};\frac{{175500}}{{227}}; - \frac{{13500}}{{227}}} \right)\left( {{z_{{B_2}}} < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B(10; - 260;20)\)

Thời gian cần tìm là

\({t_{OB}} = \frac{{OB}}{7} = \frac{{\sqrt {{{10}^2} + {{( - 260)}^2} + {{20}^2}} }}{7} = \frac{{10\sqrt {681} }}{7} \approx 37{\rm{ (gi\^a y)}}{\rm{.}}\)