Một công ty công nghệ tổ chức một kỳ thi tuyển dụng với hai bài kiểm tra: một bài kiểm tra lập trình và một bài kiểm tra tư duy logic. Công ty nhận thấy rằng, \[60\% \] ứng viên là nam, \[40\% \] ứng viên là nữ. \[80\% \] nam vượt qua bài kiểm tra lập trình, \[70\% \] nữ vượt qua bài kiểm tra lập trình. \[75\% \]nam vượt qua bài kiểm tra tư duy logic, \[85\% \] nữ vượt qua bài kiểm tra tư duy logic. Giả sử các bài kiểm tra là độc lập giữa các giới tính.

a) ĐÚNG

Gọi biến cố A: Ứng viên là nam. \(P\left( A \right) = 0,6\), \(P\left( {\overline A } \right) = 0,4\)

Biến cố B: Ứng viên đậu bài kiểm tra lập trình. \(P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0,8\), \(P\left( {\left. B \right|\overline A } \right) = 0,7\)

Biến cố C: Ứng viên đậu bài kiểm tra tư duy logic. \(P\left( {\left. C \right|A} \right) = 0,75\), \(P\left( {\left. C \right|\overline A } \right) = 0,85\).

Ta có sơ đồ hình cây:

Trong những người vượt qua bài kiểm tra lập trình tỉ lệ ứng viên nữ là:

\[P\left( {\overline A \left| B \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]\[ = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right)}}{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right) + P\left( A \right).P\left( {B\left| A \right.} \right)}}\]\( = \frac{{0,4.0.7}}{{0,4.0,7 + 0,6.0,8}} = \frac{7}{{19}}\)

b) ĐÚNG

Ứng viên không vượt qua được ít nhất một bài kiểm tra là biến cố \(\overline B  \cup \overline C \), tương đương với biến cố \(\overline {BC} \).

Vậy trong những ứng viên nam có số ứng viên không vượt qua được ít nhất một bài kiểm tra là:

\[P\left( {\overline B  \cup \overline C \left| A \right.} \right) = P\left( {\overline {BC} \left| A \right.} \right) = 1 - P\left( {BC\left| A \right.} \right) = 1 - P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( {C\left| A \right.} \right) = 1 - 0,8.0,75 = 0,4\]

( do \[B,{\rm{ }}C\] là hai biến cố độc lập theo giới tính ( có nghĩa là xét với giới tính nam thì \[B,{\rm{ }}C\] độc lập, hay xét riêng theo giới tính nữ thì \[B,{\rm{ }}C\] độc lập) nên \[P\left( {BC\left| A \right.} \right) = P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( {C\left| A \right.} \right)\])

c) ĐÚNG

Có số ứng viên vượt qua được hai bài kiểm tra là: \(P\left( {BC} \right) = P\left( A \right).P\left( {BC\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {BC\left| {\overline A } \right.} \right) = \)\( = P\left( A \right).P\left( {B\left| A \right.} \right).P\left( {C\left| A \right.} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P\left( {C\left| {\overline A } \right.} \right)\)\( = 0,6.0,8.0,75 + 0,4.0,7.0,85 = 0,598\)

d) SAI

Khi đó xác suất người đó là nữ biết rằng người đó đã vượt qua cả hai bài kiểm tra lập trình và logic là:

\(P\left( {\overline A \left| {BC} \right.} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {BC\left| {\overline A } \right.} \right)}}{{P\left( {BC} \right)}} = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B\left| {\overline A } \right.} \right).P\left( {C\left| {\overline A } \right.} \right)}}{{P\left( {BC} \right)}} = \frac{{0,4.0,7.0,85}}{{0,598}} = 0,398\).