Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( { - 2;1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) là \(\left( {a;b} \right)\). Tính \(a \cdot b\).

a) \(A\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j \).

b) \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;1} \right)\).

c) Gọi \(C\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - x; - 1 - y} \right)\).

Để \(OABC\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 1\\ - 1 - y = - 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( { - 4;1} \right)\).

d) Gọi \(I\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {x - 1;y + 2} \right)\); \(\overrightarrow {IB} = \left( { - 3 - x; - 1 - y} \right)\).

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IB} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - 3 - x\\y + 2 = - 1 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( { - 1; - \frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Đúng.

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương nên \(A,B,C\) là ba đỉnh của một tam giác.

c) Tọa độ điểm \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).

d) Dễ thấy \(B,C\) nằm cùng phía với trục \(Oy\).

Gọi \(C'\left( { - 2; - 3} \right)\) đối xứng với điểm \(C\) qua trục \(Oy\).

Khi đó \(CN = C'N\).

Do đó \(BN + CN = BN + C'N \ge BC'\).

Để \(BN + CN\) bé nhất thì \(N\) là giao điểm của \(BC'\) với \(Oy\) hay \(B,N,C'\) thẳng hàng

Vì \(N \in Oy \Rightarrow N\left( {0;b} \right)\).

Có \(\overrightarrow {NB} = \left( {1;3 - b} \right);\overrightarrow {C'B} = \left( {3;6} \right)\).

Để \(B,N,C'\) thẳng hàng thì \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {C'B} \) cùng phương hay \(\frac{1}{3} = \frac{{3 - b}}{6} \Rightarrow b = 1\).

Vậy điểm \(N\) có tung độ là 1.

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng;    c) Đúng;    d) Đúng.