Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 1; - 2} \right)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x + y + 4 = 0\). Biết đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\) có dạng \(ax + 2y + b = 0\). Tính \(a + 2b\).

Vì \(P \in \Delta \) nên \(P\left( {a;a + 2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM} = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN} = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)\).

Do tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\overrightarrow {PM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Vì \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a = 1 \Rightarrow b = 3\).

Vậy \(T = 2a + 3b = 11\).

a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó \(M\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\).

c) Đường thẳng song song với \(\Delta \) có dạng \(x - 3y + c = 0\) \(\left( d \right)\).

Lại có \(\left( d \right)\) đi qua \(M\) nên \[1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4\].

Vậy \(\left( d \right):x - 3y - 4 = 0\) hay \( - x + 3y + 4 = 0\).

d) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;    c) Đúng;   d) Sai.