Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :x - y + 2 = 0\) và hai điểm \(M\left( {1;0} \right),N\left( { - 1;3} \right)\). Giả sử \(P\left( {a;b} \right)\) với \(\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\). Tính \(T = 2a + 3b\).

Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Ta có \(AH \bot BC\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\).

Suy ra \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(BC\).

Lại có \(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó đường thẳng \(AH\) có phương trình là \( - \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 1 = 0\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{9}{4}} \right)\).

Đường trung bình D ứng với cạnh đáy \(BC\) có dạng \(x + y + c = 0\).

Lại có \(\Delta \) đi qua \(I\) nên \( - \frac{5}{4} - \frac{9}{4} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{7}{2}\).

Vậy \(\Delta :x + y + \frac{7}{2} = 0\) hay \(\Delta :2x + 2y + 7 = 0\)

a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó \(M\) không thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\).

c) Đường thẳng song song với \(\Delta \) có dạng \(x - 3y + c = 0\) \(\left( d \right)\).

Lại có \(\left( d \right)\) đi qua \(M\) nên \[1 - 3 \cdot \left( { - 1} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4\].

Vậy \(\left( d \right):x - 3y - 4 = 0\) hay \( - x + 3y + 4 = 0\).

d) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0\).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;    c) Đúng;   d) Sai.