An muốn đến nhà Bình chơi. Từ nhà An đến nhà Bình phải đi qua đường Hoàng Diệu có phương trình \(d:2x + y + 5 = 0\). Giả sử nhà An ở vị trí có tọa độ \(A\left( {1; - 3} \right)\), nhà Bình ở vị trí có tọa độ \[B\left( { - 4;2} \right)\]. Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường Hoàng Diệu sao cho An đi từ nhà mình đến nhà Bình và qua \(M\) là đường đi ngắn nhất. Tính \(a + b\).
An muốn đến nhà Bình chơi. Từ nhà An đến nhà Bình phải đi qua đường Hoàng Diệu có phương trình \(d:2x + y + 5 = 0\). Giả sử nhà An ở vị trí có tọa độ \(A\left( {1; - 3} \right)\), nhà Bình ở vị trí có tọa độ \[B\left( { - 4;2} \right)\]. Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) nằm trên đường Hoàng Diệu sao cho An đi từ nhà mình đến nhà Bình và qua \(M\) là đường đi ngắn nhất. Tính \(a + b\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Dễ thấy \(A,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d\).
Khi đó \(AM + MB \ge AB\).
Do đó đường đi ngắn nhất khi 3 điểm \(A,B,M\) thẳng hàng.
Suy ra \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương.
Ta có \(M \in d \Rightarrow M\left( {t; - 5 - 2t} \right)\), \(\overrightarrow {AM} = \left( {t - 1; - 2t - 2} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;5} \right)\).
Do \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương nên \(\frac{{t - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2t - 2}}{5}\)\( \Leftrightarrow 5\left( {t - 1} \right) - \left( { - 2t - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) = 0 \Rightarrow t = - 3\)\( \Rightarrow M\left( { - 3;1} \right)\).
Do đó \(a + b = - 2\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Vì \(P \in \Delta \) nên \(P\left( {a;a + 2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {PM} = \left( {1 - a; - a - 2} \right);\overrightarrow {PN} = \left( { - 1 - a;1 - a} \right)\).
Do tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên \(\overrightarrow {PM} \cdot \overrightarrow {PN} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right)\left( { - 1 - a} \right) + \left( { - a - 2} \right)\left( {1 - a} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 1 + {a^2} + a - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 2{a^2} + a - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Vì \(a \in \mathbb{Z}\) nên \(a = 1 \Rightarrow b = 3\).
Vậy \(T = 2a + 3b = 11\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
Ta có \(AH \bot BC\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\).
Suy ra \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(BC\).
Lại có \(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó đường thẳng \(AH\) có phương trình là \( - \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 1 = 0\).
Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{9}{4}} \right)\).
Đường trung bình D ứng với cạnh đáy \(BC\) có dạng \(x + y + c = 0\).
Lại có \(\Delta \) đi qua \(I\) nên \( - \frac{5}{4} - \frac{9}{4} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{7}{2}\).
Vậy \(\Delta :x + y + \frac{7}{2} = 0\) hay \(\Delta :2x + 2y + 7 = 0\)
Suy ra \(a = 2;b = 7\). Do đó \(a + 2b = 16\).Câu 3
a) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\).
c) Đường thẳng đi qua \(M\) và song song với đường thẳng \(\Delta \) là \( - x + 3y + 4 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \(A\left( { - 4;2} \right)\).
b) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 5} \right)\).
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng \({d_1}\) là \(2x - 5y - 2 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập