Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left( { - 20;\,\, + \infty } \right)\] để bất phương trình \({4^{{x^2}}} - \left( {m + 1} \right){2^{{x^2} + 1}} + m + 3 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án  ___

Tập xác định \(D = \mathbb{R}.\)

Đặt \(t = {2^{{x^2}}}\,\,\left( {t \ge 1} \right)\), khi đó bất phương trình trở thành \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + m + 3 \ge 0\).

Với \(t \ge 1\) thì \((*) \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 3 \ge m\left( {2t - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 2t + 3}}{{2t - 1}} \ge m.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 2t + 3}}{{2t - 1}}\) trên \(\left[ {1\,;\,\, + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{{\left( {2t - 2} \right)\left( {2t - 1} \right) - 2\left( {{t^2} - 2t + 3} \right)}}{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{t^2} - 2t - 4}}{{{{\left( {2t - 1} \right)}^2}}}.\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình \(f\left( t \right) \ge m,\,\,\forall t \in \left[ {1\,;\,\, + \infty } \right)\) thì \(m \le 1.\)

Vậy có 21 giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: 21.