a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \(\frac{1}{{10 - \sqrt {72} }}\) và \(\frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }}\).

b) Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}\).

a) Ta có \(S = {x_1} + {x_2} = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }} + \frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{{20}}{{28}}\) và \(P = {x_1}{x_2} = \frac{1}{{10 - \sqrt {72} }} \cdot \frac{1}{{10 + 6\sqrt 2 }} = \frac{1}{{28}}\).

Vậy \[{x_1};{x_2}\] là nghiệm phương trình \({x^2} - \frac{{20}}{{28}}x + \frac{1}{{28}} = 0\).

Hay \(28{x^2} - 20x + 1 = 0\)

b) Ta có:\[{x_1} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \frac{{{{(\sqrt 3 - \sqrt 5 )}^2}}}{{ - 2}} = \frac{{8 - 2\sqrt {15} }}{{ - 2}} = \sqrt {15} - 4\]

Ta chọn nghiệm thứ hai \[{x_2}\]sao cho \[{x_1} + {x_2}\] và \[{x_1}{x_2}\] đều là các số nguyên.

Chọn \({x_2} = - \sqrt {15} - 4\)

Khi đó: \(S = {x_1} + {x_2} = - 8\) ; \(P = {x_1}{x_2} = - (\sqrt {15} + 4)(\sqrt {15} - 4) = 1\).

Vậy \[{x_1}{x_2}\] là nghiệm của phương trinh: \({x^2} + 8x + 1 = 0\).