Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh \({\rm{AB}},{\rm{AC}}\) lần lượt là \({\rm{E}},{\rm{F}}\). Chứng minh rằng $\widehat{\text{ EIF }}+\widehat{\text{BAC}}={180}^{°}$

Cho tam giác nhọn \({\rm{ABC}}({\rm{AB}} < {\rm{AC}})\) nội tiếp đường tròn \(({\rm{O}})\) đường kính \({\rm{AD}} = 2{\rm{R}}\). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh:

a) \({\rm{DB}} \bot {\rm{AB}}\) và \({\rm{CD}} \bot {\rm{AC}}\);

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành;

c) \({\rm{A}}{{\rm{C}}^2} + {\rm{B}}{{\rm{H}}^2} = 4{{\rm{R}}^2}\);

d) Ba điểm \({\rm{H}},{\rm{M}},{\rm{D}}\) thẳng hàng và \({\rm{AH}} = 2{\rm{OM}}\).

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(E,F\) theo thứ tự là hình chiếu của \(\left( O \right)\) lên \(AB\) và \(AC\). Chứng minh rằng\(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] \[\widehat {BAC} = {90^0}\left( {AB \le AC} \right)\]. Đường tròn \[\left( I \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[D\]. Chứng minh rằng:

a) \[BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}\]

b) \[{S_{ABC}} = BD.DC\]

Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn \(({\rm{I}})\) và \(({\rm{K}})\) sao cho hai đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC . Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M , đường tròn \(({\rm{K}})\) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình vẽ). Chứng minh:

a) Ba điểm \({\rm{I}},{\rm{H}},{\rm{K}}\) thẳng hàng;                                               

b) \({\rm{AM}} = {\rm{AN}}\);   

c) \(\widehat {{\rm{IAK}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}\).