Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\). Dây cung \(MN\) vuông góc với \(AB\), (\(AM < BM\)). Hai đường thẳng \(BM\) và \(NA\) cắt nhau tại \(K\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(K\) đến đường thẳng \(AB\).

a) Chứng minh tứ giác \(AHKM\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng \(NB\;.\;HK = AN\;.\;HB\).

c) Chứng minh \(HM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

a) Chứng minh tứ giác CDEF và \(\widehat {DFE} = \widehat {DAB}\).

Xét tứ giác CDEF có:

+) \(\widehat {DEC} = {90^0}\) ( DE vuông góc với BC tại E)

+) \(\widehat {DFC} = {90^0}\) ( DF vuông góc với AC tại F)

\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn đường kính DC (2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh DC dưới 1 góc vuông)

\( \Rightarrow \)

Mà  trong đường tròn (O).

Do đó: \(\widehat {DFE} = \widehat {DAB}\) .

b) Chứng minh tứ giác DKBE nội tiếp và DB.DF = DA. DE.

Ta có: \(\widehat {KED} = \widehat {DCF}\) (góc ngoài bằng góc đối trong của tứ giác CDEF nội tiếp)

\(\widehat {DCF} = \widehat {DCA} = \widehat {KBD}\)( góc ngoài bằng góc đối trong đối với tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (O)).

Do đó: \(\widehat {KBD} = \widehat {KED} = \widehat {DCA}\) không đổi.

Suy ra tứ giác DKBE nội tiếp (2 đỉnh B, E cùng phía đối với cạnh KD và cùng nhìn cạnh KD dưới 1 góc không đổi)

Ta có:

Và  trong đường tròn (O)

Suy ra \(\widehat {BDA} = \widehat {EDF}\).

Xét \(\Delta \)DBA  và \(\Delta \)DEF có:

+) \(\widehat {DAB} = \widehat {DFE}\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {BDA} = \widehat {EDF}\) (chứng minh trên)

\(\Delta \)DBA  \(\Delta \)DEF (góc - góc)

\( \Rightarrow \)\[\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{DA}}{{DF}} = \frac{{BA}}{{EF}}\] (*)

\( \Rightarrow \)DB.DF = DA.DE (điều phải chứng minh)

c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh IJ vuông góc với DJ.

Từ (*) và I, J lần lượt là trung điểm của AB, EF nên ta có:

     \[\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{BA}}{{EF}} = \frac{{2IB}}{{2JE}} = \frac{{IB}}{{JE}}\]

Xét \(\Delta \)DBI  và \(\Delta \)DEJ  ta có:

+)\(\widehat {DBI} = \widehat {DEJ}\) (\(\Delta \)DBA  \(\Delta \)DEF chứng minh trên)

+) \[\frac{{DB}}{{DE}} = \frac{{IB}}{{JE}}\] ( chứng minh trên)

\( \Rightarrow \)\(\Delta \)DBI  \(\Delta \)DEJ (cạnh – góc – cạnh)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DIB} = \widehat {DJE}\)\( \Rightarrow \)\(\widehat {KID} = \widehat {KJD}\) = góc không đổi.

\( \Rightarrow \)Tứ giác IKDJ nội tiếp (2 đỉnh I, J cùng phía với cạnh KD và cùng nhìn cạnh KD dưới 1 góc không đổi)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {IKD} + \widehat {IJD} = {180^0}\).

Mà tứ giác DKBE nội tiếp nên \(\widehat {IKD} = \widehat {BKD} = {180^0} - \widehat {BED} = {90^0}\)

Do đó: \(\widehat {IJD}\) vuông hay IJ vuông góc với DJ.