Cho đường tròn ( O ) đường kính AB . Dây cung MN vuông góc với AB , ( AM < BM ). Hai đường thẳng BM và NA cắt nhau tại K . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng

a) Chứng minh tứ giác \(AHKM\) nội tiếp trong một đường tròn.

+) Tứ giác \(AHKM\) có: \(\widehat {AHM} = 90^\circ \) (vì \(KH \bot AB\)) 

và \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {AMK} = 90^\circ \) (kề bù với \(\widehat {AMB}\))

Suy ra tứ giác \(AHKM\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AK\).

b) Chứng minh rằng: \(NB\;.\;HK = AN\;.\;HB\).

Xét \(\Delta ANB\) và \(\Delta KHB\) có:

+) \(\widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ANB} = \widehat {KHB} = 90^\circ \);

+) Đường kính \(AB \bot MN \Rightarrow A\) là điểm chính giữa  (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)  (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);

Suy ra

\( \Rightarrow \frac{{AN}}{{NB}} = \frac{{KH}}{{HB}}\)

\( \Rightarrow NB\;.\;HK = AN\;.\;HB\).

c) Chứng minh \(HM\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

+) Ta có \(HM\) giao với đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\), ta phải chứng minh \(HM \bot OM\). Thật vậy:

Tứ giác \(AHKM\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {HMK} = \widehat {HAK}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn );

\(\widehat {HAK} = \widehat {NAB}\) (hai góc đối đỉnh);

\(\widehat {NAB} = \widehat {MAB}\) (\(AB \bot MN \Rightarrow B\) là điểm chính giữa , hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);

\(\widehat {MAB} = \widehat {OMA}\) (\(\Delta OAM\) cân tại \(O\));

\( \Rightarrow \widehat {HMK} = \widehat {OMA}\left( { = \widehat {HAK} = \widehat {NAB} = \widehat {MAB}} \right) \Rightarrow \) \(\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {OMA} + \widehat {HMA}\);

Mà \(\widehat {HMK} + \widehat {HMA} = \widehat {AMK} = 90^\circ \) (kề bù với \(\widehat {AMB} = 90^\circ \), góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);

\( \Rightarrow \widehat {OMA} + \widehat {HMA} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {HMO} = 90^\circ  \Rightarrow HM \bot OM\) tại \(M \in \left( O \right)\)

\( \Rightarrow HM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).