Cho tam giác ABC và đường cao AH gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , AC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH tại E .
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Để chứng minh \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp ta sẽ
chứng minh: \(\widehat {MAN} + \widehat {MEN} = {180^0}\).
Ta cần tìm sự liên hệ của các góc \(\widehat {MAN};\widehat {MEN}\) với các góc có sẵn của những tứ giác nội tiếp khác.
Ta có \(\widehat {MEN} = {360^0} - \left( {\widehat {MEH} + \widehat {NEH}} \right) = {360^0} - \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC} + {{180}^0} - \widehat {ACB}} \right) = \widehat {ABC} + \widehat {ACB}\) \( = {180^0} - \widehat {BAC}\) suy ra \(\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^0}\). Hay tứ giác \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp.
Kẻ \(MK \bot BC\), giả sử \(HE\) cắt \(MN\) tại \(I\) thì \(IH\) là cát tuyến của hai đường tròn \((BMH)\), \((CNH)\).
Lại có \(MB = MH = MA\) (Tính chất trung tuyến tam giác vuông).
Suy ra tam giác \(MBH\) cân tại \(M \Rightarrow KB = KH \Rightarrow MK\) luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MBH\). Hay \(MN\) là tiếp tuyến của \((MBH)\) suy ra \(I{M^2} = IE.IH\), tương tự ta cũng có \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( {HNC} \right)\) suy ra \(I{N^2} = IE.IH\) do đó \(IM = IN\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập