Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A; B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M; qua M kẻ hai tiếp tuyến MC; MD với đường tròn (O) ( C; D là các tiếp điểm
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Chứng minh tứ giác OMCH nội tiếp.
Vì H là trung điểm của dây cung AB nên \({\rm{OH}} \bot {\rm{AB}} \Rightarrow \widehat {{\rm{OHM}}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^^\circ }\)
Ta có: nên tứ giác OMCH nội tiếp.
b) OM cắt đường tròn (O) tại I và cắt CD tại K. Chứng minh \({\rm{OK}}{\rm{.OM = }}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\)
Tam giác ODM vuông tại D (vì \(\widehat {ODM} = {90^^\circ }\)). Mặt khác:\({\rm{MC = MD}}\)(t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); \({\rm{OC = OD = R}}\)\( \Rightarrow \)OM là đường trung trực của đoạn thẳng CD\( \Rightarrow \)\({\rm{OM}} \bot {\rm{CD}}\). Trong tam giác vuông ODM áp dụng hệ thức \({{\rm{b}}^{\rm{2}}}{\rm{ = a}}{\rm{.b'}}\) ta có: \({\rm{O}}{{\rm{D}}^{\rm{2}}}{\rm{ = OK}}{\rm{.OM}} \Leftrightarrow {\rm{OK}}{\rm{.OM = }}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\).
c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM, cắt tia MC và MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có MO là tia phân giác của góc PMQ, mặt khác \({\rm{MO}} \bot {\rm{PQ}}\) nên tam giác PMQ cân tại M\( \Rightarrow {\rm{PQ}} = {\rm{2OP}}\).
Ta có \({{\rm{S}}_{{\rm{PMQ}}}} = \frac{1}{2}{\rm{MO}}{\rm{.PQ = MO}}{\rm{.OP}}\). Trong tam giác vuông OMQ ta có:
\[\frac{1}{{{\rm{O}}{{\rm{D}}^2}}} = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{M}}^{\rm{2}}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\rm{R}}^{\rm{2}}}}} = \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{M}}^{\rm{2}}}}}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô si :
\[\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ + }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{M}}^{\rm{2}}}}} \ge 2\sqrt {\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}}}.\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{M}}^{\rm{2}}}}}} = \frac{2}{{{\rm{OP}}{\rm{.OM}}}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{R}}^{\rm{2}}}}} \ge \frac{{\rm{2}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{PMQ}}}}}}\]
\({{\rm{S}}_{{\rm{PMQ}}}} \ge {\rm{2}}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{M}}^{\rm{2}}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{O}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}}}\\{\rm{OM}}{\rm{.OP = 2}}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow {\rm{OM = OP = R}}\sqrt {\rm{2}} \).
Vậy \({{\rm{S}}_{{\rm{PMQ}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {\rm{OM = R}}\sqrt {\rm{2}} \).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập