Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB . Vẽ tia tiếp tuyến Ax củng phía với nửa đường tròn đường kính AB . Lấy một điểm M trên tia Ax ( M ≠ A ) . Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường trò

a) Chứng minh: Tứ giác AMDE nội tiếp trong một đường tròn.

Ta có: \(OA = OC \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(AC\).

\(MA = MC\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau\() \Rightarrow M\) thuộc trung trực của \(AC\).

\( \Rightarrow OM\) là trung trực của \(AC \Rightarrow OM \bot AC\) tại \(E \Rightarrow \widehat {AEM} = 90^\circ \).

Ta có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {ADM} = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(AMDE\) có \(\widehat {AEM} = \widehat {ADM} = 90^\circ (cmt) \Rightarrow AMDE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính

\(AM\) (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn \(AM\) dưới một góc \(\left. {90^\circ } \right)\).

b) Chứng minh \(M{A^2} = MD,MB\).

Xét \(\Delta MAD\) và \(\Delta MBA\) có:

\(\widehat {AMB}\) chung;

\(\widehat {MDA} = \widehat {MAB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta MAD\~\Delta MBA(g.g) \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MB}}{{MA}}(2\) cạnh tương ứng \() \Rightarrow M{A^2} = MD.MB.\)

c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(AB(H \in AB).\) Chứng minh rằng \(MB\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).

Gọi \(MB \cap CH = \{ N\} \).

Vì \(AEDM\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {DEC} = \widehat {AMD}\) (góc ngoài và góc trong tại đinh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Mà \(\widehat {AMD} = \widehat {DAB}\) (cùng phụ với \(\widehat {MAD}\) ) nên \(\widehat {DEC} = \widehat {DAB}\) (1).

Ta có \(\widehat {DNC} = \widehat {BNH}\) (đối đinh), mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {BNH} + \widehat {NBH} = 90^\circ }\\{\widehat {DAB} + \widehat {NBH} = 90^\circ }\end{array} \Rightarrow \widehat {BNH} = \widehat {DAB} \Rightarrow \widehat {DNC} = \widehat {DAB}} \right.\) (2).

Từ (1) và \((2) \Rightarrow \widehat {DEC} = \widehat {DNC}\).

\( \Rightarrow DENC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {DNE} = \widehat {DCE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\)).

Mà \(\widehat {DCE} = \widehat {DCA} = \widehat {DBA}\) ( 2 góc nội tiểp cùng chắn cung \(DA\) ).

\( \Rightarrow \widehat {DNE} = \widehat {DBA}\). Mà 2 góc này nằm ở vị trí 2 góc đồng vị nên \(EN//AB\) hay \(EN//AH\).

Lại có: \(E\) là trung điểm của \(AC\) (do \(OM\) là trung trực của \(AC,OM \cap AC = \{ E\} \) ).

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(CH\) (định lí đường trung bình trong tam giác \(ACH\) ).

Vậy \(MB\) đi qua \(N\) là trung điểm của \(CH\) (đpcm).