Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến \[AB,AC\] với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là các tiếp điểm). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\).

     a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp và xác định tâm \(I\) của đường tròn này.

     b) Chứng minh rằng \(AM.AO = AB.AI\).

     c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\). Chứng minh \(MG//BC\).

     d) Chứng minh \(IG\) vuông góc với \(CM\).

Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\) có trực tâm là điểm \(H\). Gọi \(M\) là điểm trên dây cung \(BC\) không chứa điểm \(A\)( \(M\) khác \(B,C\)). Gọi \(N,P\) theo thứ tự là các điểm đối xứng của \(M\) qua các đường thẳng \(AB,AC\)

a) Chứng minh \[AHCP\] là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(N,H,P\) thẳng hàng.

Cho điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Một đường thẳng \(d\)ở ngoài \(\left( O \right)\) và vuông góc với \(OM\); \(CM,BM\) cắt \(d\) lần lượt tại \[D,E\]. Chứng minh rằng \(B,C,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D.

a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh MB² = MD.MA

c) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF // AM.

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) nội tiếp \(\Delta ABC\), tiếp xúc với cạnh \(AB,AC\) lần lượt ở \(D\) và\(E\)

a) Gọi \(O'\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ADE\), tính \(OO'\) theo \(R\).

b) Các đường phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt đường thẳng \(DE\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Chứng minh tứ giác \(BCMN\) nội tiếp được đường tròn.

c) Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{DM}}{{AC}} = \frac{{EN}}{{AB}}\).

Cho tam giác \(ABC\) và đường cao \(AH\) gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHM\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CNH\) tại \(E\). Chứng minh \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp và \(HE\) đi qua trung điểm của \(MN\).

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\). Vẽ tia tiếp tuyến \(Ax\) củng phía với nửa đường tròn đường kính \(AB\). Lấy một điểm \(M\) trên tia \(Ax(M \ne A)\). Vẽ tiếp tuyến \(MC\) với nửa đường tròn \((O)\) ( \(C\) là tiếp điểm). Vẽ \(AC\) cắt \(OM\) tại \(E\), Vẽ \(MB\) cắt nửa đường tròn \((O)\) tại \(D(D \ne B)\).

a) Chứng minh : Tứ giác \(AMDE\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh: \(M{A^2} = MD \cdot MB\).

c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(AB(H \in AB)\). Chứng minh rằng \(MB\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).