Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy,\] cho parabol \(\left( P \right):y = 2{x^2}.\)

a) Vẽ đồ thị parabol \(\left( P \right).\)

b) Bằng phép tính, tìm tất cả các điểm thuộc parabol \(\left( P \right)\) (khác gốc tọa độ \(O\)) có tung độ gấp hai lần hoành độ.

Gọi số thứ nhất là \(x\), số thứ hai là \(y\).

Theo đề bài tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị nên ta có phương trình \(x + y = 17\). \[\left( 1 \right)\]

Số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị nên ta có phương trình \((x + 3)(y + 2) = 105\). \[\left( 2 \right)\]

Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 17}\\{(x + 3)(y + 2) = 105}\end{array}} \right.\)

Rút \(y\) từ \((1)\) thế vào \((2)\) và thu gọn, ta được

\({x^2} - 16x + 48 = 0.\)

Giải phương trình ta được \({x_1} = 12\) (thỏa mãn) và \({x_2} = 4\) (thỏa mãn).

Vậy nếu số thứ nhất là 12 thì số thứ hai là 5; nếu số thứ nhất là 4 thì số thứ hai là 12.

a) Với \[m = 2\], phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 1 = 0\] hay \[x =  \pm 1\]

b) Xét hai trường hợp

TH1: Với \[m = \frac{3}{2}\] phương trình đã cho trở thành: \[x - 1 = 0\] hay \[x = 1\]

TH2: Với \[m \ne \frac{3}{2}\] phương trình \[\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0\] là một phương trình bậc hai và có \[\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + \left( {2m - 3} \right) = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\,\forall m \in \mathbb{R}\]

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi \[m \in \mathbb{R}\]

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\]

\[m \ne \frac{3}{2}\] và \[m \ne 1\]