Cho phương trình \(m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + \left( {m + 1} \right) = 0\) (\(m\) là tham số) \(\left( 1 \right)\)

1. Giải phương trình \(\left( 1 \right)\)với \(m =  - \frac{3}{5}.\)

2. Chứng minh rằng phương trình \(\left( 1 \right)\)luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\).

3. Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có một nghiệm lớn hơn 2.

1. Với \(m =  - \frac{3}{5}.\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\)trở thành :

\( - \frac{3}{5}{x^2} + \frac{1}{5}x + \frac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - x - 2 = 0.\)

Ta có : \(\Delta  = 1 - 4.3.\left( { - 2} \right) = 25 > 0.\)

Phương trình có hai nghiệm : \({x_1} = \frac{{1 - 5}}{6} =  - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{{1 + 5}}{6} = 1.\)

2. Ta có :

ý Nếu \(m = 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \( - x + 1 = 0.\)

Phương trình này có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

ý Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\)là phương trình bậc hai có :

\(\Delta  = {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4.m.\left( {m + 1} \right) = 1 > 0.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Tóm lại, với mọi giá trị của m thì phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có nghiệm.

3. Nếu \(m \ne 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt là :

\({x_1} = \frac{{\left( {2m + 1} \right) - 1}}{{2m}} = 1;{x_2} = \frac{{\left( {2m + 1} \right) + 1}}{{2m}} = \frac{{m + 1}}{m}.\)

Vì nghiệm \({x_1} = 1 < 2\) nên ta phải xét nghiệm \({x_2} > 2.\)

\(\frac{{m + 1}}{m} > 2 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} - 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - m}}{m} > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 1.\)

Vậy khi \(0 < m < 1\)thì phương trình \(\left( 1 \right)\)có một nghiệm lớn hơn 2.