Cho phương trình \[{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\] (\[x\] là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định \[m\] để hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] của phương trình đã cho thỏa mãn: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\).

1. Vì \(\Delta ' = {(m + 1)^2} - \left( {4m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1 \ge 1,\forall m \in \mathbb{R}\)

nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 4m - 1}\end{array}} \right.\)

Theo đề: \(x_1^2 + x_2^2 = 10\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10\)

\( \Leftrightarrow 4{(m + 1)^2} - 2\left( {4m - 1} \right) = 10\)

\( \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy \(m =  - 1,m = 1\) là giá trị cần tìm.

2. Hệ thức Viète:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}\\{{x_1}{x_2}{\rm{ =  4m  -  1       }}\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)\;\;}}}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\)ta được: \(2m = {x_1} + {x_2} - 2\)

Thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:\({x_1}.{x_2} = 2({x_1} + {x_2} - 2) - 1 \Leftrightarrow 2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5.\)

Biểu thức: \(2{x_1} + 2{x_2} - {x_1}{x_2} = 5\) luôn đúng với mọi \(m.\)

Vậy đây là biểu thức cần tìm.

Vì \(\Delta  = {5^2} - 4.1.2 = 17 > 0\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có\({x_1} + {x_2} = 5,{x_1}{x_2} = 2\)

a) Ta có:

\(A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2 \cdot 2 = 21\)

b) Ta có:

\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{5^2} - 4 \cdot 2}  = \sqrt {17} \)

c) Vì \({x_1} + {x_2} > 0\) và \({x_1}{x_2} > 0\) nên \({x_1} > 0,{x_2} > 0\). Ta có

\(C = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3 \cdot x_2^3}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^3}}} = \frac{{{5^3} - 3 \cdot 2 \cdot 5}}{{{2^3}}} = \frac{{95}}{8}\)

d) Ta có:

1. \(\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)}^2}}  = \sqrt {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }  = \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)\(.\)

Suy ra \(D = \frac{{{x_1}\sqrt {{x_1}}  + {x_2}\sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}}  \cdot \sqrt {{x_2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right)\left( {{x_1} + {x_2} - \sqrt {{x_1}{x_2}} } \right)}}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \frac{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt 2 }}\)