Cho phương trình \[{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\] (\[x\] là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định \[m\] để hai nghiệm \[{x_1}\], \[{x_2}\] của phương trình đã cho thỏa mãn: \({\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\).

a) \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.\left( {{m^2} - 1} \right) = 5 - 4m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)

b) Phương trình hai nghiệm \( \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}\)

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Theo đề bài:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) = {x_1} - 3{x_2}\\ \Leftrightarrow {x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 1\\{x_1} - 3{x_2} = 5 - 4m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{m + 1}}{2}\\{x_2} = \frac{{3(m - 1)}}{2}\end{array} \right.\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{m + 1}}{2} \cdot \frac{{3(m - 1)}}{2} = {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m =  \pm 1\) là các giá trị cần tìm