Cho phương trình \({x^2} + 2mx + 2m - 1 = 0\) (\(m\) là tham số). Gọi \[{x_1}\], \[{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của \(m\) để \(A = x_1^2{x_2} + {x_1}x_2^2\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho phương trình \({x^2} - 5x + 2 = 0\). Không giải phương trình, gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình. Hãy tính giá trị của biểu thức

a)\(A = x_1^2 + x_2^2.\) b)\(B = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\).

c)\(C = \frac{1}{{x_1^3}} + \frac{1}{{x_2^3}}\). d)\(D = \frac{{{x_1}}}{{\sqrt {{x_2}} }} + \frac{{{x_2}}}{{\sqrt {{x_1}} }}\).

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m - 1 = 0{\rm{\;}}\) (1), với \(m\) là tham số.

1. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m.\)

Cho phương trình \(:{x^2} + (m + 1)x + m = 0\) \(\left( 1 \right)\)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm nghiệm của (1);

b) Tìm \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất nếu \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của (1).

Dùng điều kiện \(a + b + c = 0\) hoặc \(a - b + c = 0\) để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) \((m + 1){x^2} + 3mx + 2m - 1 = 0\quad (m \ne  - 1)\).

b) \((2m - 1){x^2} - mx - m - 1 = 0\quad \left( {m \ne \frac{1}{2}} \right)\).