Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB\), dây \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\). Gọi \(M\) là một điểm thuộc cung nhỏ \(BC\) (\(M\) khác \(B\), \(M\) khác \(C\)), hai đường thẳng \(AM\) và \(CD\) cắt nhau tại \(E\)

a) Chứng minh tứ giác \(BMEF\) nội tiếp

b) Chứng minh tia \(MA\) là phân giác của góc \(CMD\)

c) Chứng minh \(A{C^2} = AE.AM\)

d) Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MD\) và \(AB\), \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AM\) và \(BC\). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CEN\) nằm trên đường thẳng \(CI\)

a) Chứng minh \[OM\] vuông góc với \[{O^'}M\].

Vì \[MA\] và \[MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]nên \[MO\]

là tia phân giác của \[\widehat {AMB}\]. Do đó \[\widehat {OMA} = \frac{1}{2}\widehat {BMA}\]

\[MA\] và \[MC\] là tiếp tuyến của $\left(O^{\text{'}}\right)$ nên MO 

là tia phân giác của \[\widehat {AMC}\]. Do đó $\widehat{O^{\text{'}}MA}=\frac{1}{2}\widehat{CMA}$

Suy ra  $\widehat{OM{O}^{\text{'}}}=\widehat{OMA}+\widehat{O^{\text{'}}MA}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BMA}+\widehat{CMA}\right)=\frac{1}{2}{.180}^0={90}^0$

$\Rightarrow OM\perp O^{\text{'}}M$

b) Gọi \[E\] là giao điểm của \[AB\] với \[OM\] và \[F\] là giao điểm của\[AC\]với O'M. Chứng minh tứ giác OEFO' nội tiếp một đường tròn.

Ta có:

\[MB = MA\] ( tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

\[OB = OA\]( bán kính \[R\])

\[ \Rightarrow MO\] là đường trung trực của\[AB\]

\[ \Rightarrow MO \bot AB\] tại \[E \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\]

Tương tự, ta có: \[\widehat {MFA} = {90^0}\]

Xét tứ giác \[MEAF\] có: $\widehat{MEA}=\widehat{MFE}=\widehat{OM{O}^{\text{'}}}={90}^0$

\[ \Rightarrow \] tứ giác \[MEAF\]là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết)

\[ \Rightarrow MEAF\]là tứ giác nội tiếp

\[ \Rightarrow \widehat {MFE} = \widehat {MAE}\]

Trong tam giác vuông \[AOM\], ta có \[\widehat {MAE} = \widehat {OAE}\]

Vì vậy $\widehat{MFE}=\widehat{EO{O}^{\text{'}}}$

Do đó, tứ giác OEFO' nội tiếp một đường tròn (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO', \[K\] là trung điểm của \[AM\]. Chứng minh $O{O}^{\text{'}}=2IK.$

Cần xác định tâm \[I\] của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO'

Vẽ hai đường trung trực của hai đoạn thẳng \[EO\] và FO' lần lượt cắt \[EO\] và FO' tại \[H\]và \[J\]. Hai đường trung trực này cắt nhau tại \[I\]. \[I\] chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEFO'

Qua \[O\] vẽ đường thẳng song song với MO'. Qua O' vẽ đường thẳng song song với\[MO\]. Hai đường thẳng này cắt nhau tại \[N\]. Theo cách vẽ ta được tứ giác MONO' là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Suy ra OO' = MN (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Chứng minh I là trung điểm của AN:

Hình thang \[AEON\]có \[HE = HO\]và \[HI\]//\[EA\]//\[ON\]

\[ \Rightarrow HI\] đi qua trung điểm của \[AN\] (1)

Tương tự, ta có \[JI\] đi qua trung điểm của \[AN\] (2)

Mà \[I = HI \cap JI\] (3)

Từ (1), (2) và (3) \[ \Rightarrow I\] là trung điểm của \[AN\]

Xét \[\Delta AMN\]có \[IK\]là đường trung bình của tam giác

$\begin{array}{l}\Rightarrow IK=\frac{1}{2}MN\\ \Rightarrow IK=\frac{1}{2}O{O}^{\text{'}}\end{array}$