Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác BD \(\left( {K \in AB,\;D \in AC} \right)\). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh tứ giác CDKI nội tiếp.
b) Chứng minh AC.AD = DH.AB.
c) Gọi F là trung điểm của AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M ( M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại C (AC < BC), đường cao CK và đường phân giác BD \(\left( {K \in AB,\;D \in AC} \right)\). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt CK, AB lần lượt tại H và I.
a) Chứng minh tứ giác CDKI nội tiếp.
b) Chứng minh AC.AD = DH.AB.
c) Gọi F là trung điểm của AD. Đường tròn tâm I bán kính ID cắt BC tại M ( M khác B) và cắt AM tại N (N khác M). Chứng minh B, N, F thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có : \(\widehat {CDI} = {90^0}\) (gt)
\(\widehat {CKI} = {90^0}\) (gt)
\( \Rightarrow \widehat {CDI} = \widehat {CKI}\)
Vậy tứ giác CDKI nội tiếp.
b) Ta có: BD là phân giác của tam giác ABC (gt) \( \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (1)
Xét \(\Delta DCH\) và \(\Delta CBA\) có:
\(\widehat {CDH} = \widehat {BCA}\;\;\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {DCH} = \widehat {CBA}\) (cùng phụ \(\widehat {BAC}\))
\( \Rightarrow \Delta DCH \sim \Delta CBA\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{DH}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \frac{{DH}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow AC.AD = AB.DH\)
c)
Gọi F’ là giao điểm của BN với AD, Q là giao điểm của AB với (I).
Ta có: ID // BC (cùng vuông góc với AC) \( \Rightarrow \widehat {IDB} = \widehat {DBC}\)
Mà \(\widehat {DBI} = \widehat {DBC}\) (gt)
\( \Rightarrow \widehat {IDB} = \widehat {DBI}\)
\( \Rightarrow \Delta IDB\)cân tại I \( \Rightarrow IB = ID \Rightarrow B \in (I)\)
\( \Rightarrow \) tứ giác BMNQ nội tiếp
\( \Rightarrow \widehat {NBQ} = \widehat {NMQ}\)
Ta có: \(\widehat {QMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow QM \bot BC\)
\( \Rightarrow \) QM // AC (cùng vuông góc với BC)
\( \Rightarrow \widehat {NMQ} = \widehat {MAD}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \widehat {NAF'} = \widehat {F'BA}\)
Xét \(\Delta F'AN\) và \(\Delta F'BA\) có:
\(\widehat {NAF'} = \widehat {F'BA}\) (c/m trên)
\(\widehat {BF'A}\) chung
\( \Rightarrow \) \(\Delta F'AN\) \( \sim \) \(\Delta F'BA\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{F'A}}{{F'B}} = \frac{{F'N}}{{F'A}} \Rightarrow F'{A^2} = F'B.F'N\) (3)
Ta lại có: \(DA \bot ID\) (gt) nên DA là tiếp tuyến của (I) \( \Rightarrow \widehat {F'DN} = \widehat {NBD}\)
Xét \(\Delta F'DN\) và \(\Delta F'BD\) có:
\(\widehat {F'DN} = \widehat {NBD}\) (c/m trên)
\(\widehat {BF'D}\) chung
\( \Rightarrow \) \(\Delta F'DN\) \( \sim \) \(\Delta F'BD\) (g-g)
\( \Rightarrow \frac{{F'D}}{{F'B}} = \frac{{F'N}}{{F'D}} \Rightarrow F'{D^2} = F'B.F'N\) (4)
Từ (3), (4) \( \Rightarrow F'{A^2} = F'{D^2}\) \( \Rightarrow \) F’A = F’D Hay F’ là trung điểm của AD
Do đó F’ trùng với F
Vậy F, N, B thẳng hàng
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Xét tứ giác \(AEHF\), ta có: \(\widehat {AFH} = 90^\circ \)(Vì CF là đường cao của tam giác ABC)
\(\widehat {AEH} = 90^\circ \)( Vì BE là đường cao của tam giác ABC)
Do đó \[\widehat {AFH} + \widehat {AEH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]
Vậy tứ giác \(AEHF\)là tứ giác nội tiếp .
b) Xét tứ giác \(AEHF\), ta có: \(\widehat {IEF} = \widehat {IAF}\)(cùng chắn )
\(\widehat {IAF} = \widehat {IBC}\) (cùng chắn )
Do đó \(\widehat {IEF} = \widehat {IBC}\)
Tương tự, \(\widehat {FIE} = \widehat {FAE}\) (cùng chắn )
\(\widehat {FAE} = \widehat {BIC}\)(cùng chắn )
Do đó \(\widehat {FIE} = \widehat {BIC}\)
Xét \(\Delta IBC\) và \(\Delta IFE\), ta có: \(\widehat {IEF} = \widehat {IBC}\)(cmt)
\(\widehat {FIE} = \widehat {BIC}\)(cmt)
Do đó
c)
Tứ giác \(IAEF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IFK} = \widehat {IAE}\)
Tứ giác \(IABC\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {IBK} = \widehat {IAE}\)
Suy ra \(\widehat {IFK} = \widehat {IBK}\)
Suy ra tứ giác \(IFBK\) nội tiếp (có hai đỉnh \(B,F\) kề cùng nhìn cạnh \(IK\) dưới một góc bằng nhau).
Vậy \(\widehat {KIF} + \widehat {KBF} = 180^\circ \), mà \(\widehat {KBF} = \widehat {FEC} = \widehat {FIA}\)
\( \Rightarrow \widehat {KIF} + \widehat {FIA} = 180^\circ \) hay ba điểm \[A,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\]thẳng hàng.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập