Cho điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $\left( O \right)$. Một đường thẳng $d$ở ngoài $\left( O \right)$ và vuông góc với $OM$; $CM,BM$ cắt $d$ lần lượt tại \[D,E\]. Chứng minh rằng $B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 21 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của (ảnh 1)$

Kẻ đường kính $AM$ cắt $d$ tại $N$.

Ta có $\widehat {ANE} = \widehat {ABE} = {90^0}$ nên tứ giác $ABNE$ nội tiếp, suy ra $\widehat {BEN} = \widehat {BAN}$.

Mặt khác $\widehat {BAN} = \widehat {BCM}$, do đó $\widehat {BCM} = \widehat {BEN}$ hay $\widehat {BCD} = \widehat {BED}$.

Tứ giác $BCDE$ có các đỉnh $C$ và $E$ cùng nhìn đoạn thẳng $BD$ dưới một góc không đổi. Vì vậy tứ giác $BCDE$ nội tiếp.

Vậy $B,C,D,E$ cùng thuộc một đường tròn.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ và đường cao $AH$ gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CNH$ tại $E$. Chứng minh $AMEN$ là tứ giác nội tiếp và $HE$ đi qua trung điểm của $MN$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ và đường cao $AH$ gọi \( (ảnh 1)$

Để chứng minh $AMEN$ là tứ giác nội tiếp ta sẽ

chứng minh: $\widehat {MAN} + \widehat {MEN} = {180^0}$.

Ta cần tìm sự liên hệ của các góc $\widehat {MAN};\widehat {MEN}$ với các góc có sẵn của những tứ giác nội tiếp khác.

Ta có $\widehat {MEN} = {360^0} - \left( {\widehat {MEH} + \widehat {NEH}} \right) = {360^0} - \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC} + {{180}^0} - \widehat {ACB}} \right) = \widehat {ABC} + \widehat {ACB}$ $ = {180^0} - \widehat {BAC}$ suy ra $\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^0}$. Hay tứ giác $AMEN$ là tứ giác nội tiếp.

Kẻ $MK \bot BC$, giả sử $HE$ cắt $MN$ tại $I$ thì $IH$ là cát tuyến của hai đường tròn $(BMH)$, $(CNH)$.

Lại có $MB = MH = MA$ (Tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Suy ra tam giác $MBH$ cân tại $M \Rightarrow KB = KH \Rightarrow MK$ luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBH$. Hay $MN$ là tiếp tuyến của $(MBH)$ suy ra $I{M^2} = IE.IH$, tương tự ta cũng có $MN$ là tiếp tuyến của $\left( {HNC} \right)$ suy ra $I{N^2} = IE.IH$ do đó $IM = IN$.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm là điểm $H$. Gọi $M$ là điểm trên dây cung $BC$ không chứa điểm $A$( $M$ khác $B,C$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB,AC$

a) Chứng minh \[AHCP\] là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh $N,H,P$ thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọ (ảnh 1)$

a). Giả sử các đường cao của tam giác là $AK,CI$ . Để chứng minh $AHCP$ là tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh $\widehat {AHC} + \widehat {APC} = {180^0}$.

Ta có:

$\widehat {AHC} = \widehat {IHK}$ ( đối đỉnh)

$\widehat {APC} = \widehat {AMC} = \widehat {ABC}$ ( do tính đối xứng và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Như vậy ta chỉ cần chứng minh $\widehat {ABC} + \widehat {IHK} = {180^0}$ nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác $BIHK$là tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh $N,H,P$ thẳng hàng ta sẽ chứng minh $\widehat {NHA} + \widehat {AHP} = {180^0}$ do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp.

Thật vậy ta có: $\widehat {AHP} = \widehat {ACP}$ (tính chất góc nội tiếp), $\widehat {ACP} = \widehat {ACM}$ (1) (Tính chất đối xứng) .

Ta thấy vai trò tứ giác $AHCP$ giống với $AHBN$ nên ta cũng dễ chứng minh được $AHBN$ là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra $\widehat {AHN} = \widehat {ABN}$ , mặt khác $\widehat {ABN} = \widehat {ABM}$ (2) (Tính chất đối xứng) .

Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần chứng minh $\widehat {ABM} + \widehat {ACM} = {180^0}$ nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác $ABMC$ nội tiếp.

Vậy $\widehat {NHA} + \widehat {AHP} = {180^0}$ hay $N,H,P$ thẳng hàng.

Câu 3