21 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn có đáp án

Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp được đường tròn? Giải thích.

Trong các đường tròn \[\left( O \right)\] sau, đường tròn nào ngoại tiếp tứ giác \[ABCD\] ? Giải thích.

Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\) có trực tâm là điểm \(H\). Gọi \(M\) là điểm trên dây cung \(BC\) không chứa điểm \(A\)( \(M\) khác \(B,C\)). Gọi \(N,P\) theo thứ tự là các điểm đối xứng của \(M\) qua các đường thẳng \(AB,AC\)

a) Chứng minh \[AHCP\] là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(N,H,P\) thẳng hàng.

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và điểm \(A\) ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến \[AB,AC\] với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(B,C\) là các tiếp điểm). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\).

     a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp và xác định tâm \(I\) của đường tròn này.

     b) Chứng minh rằng \(AM.AO = AB.AI\).

     c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACM\). Chứng minh \(MG//BC\).

     d) Chứng minh \(IG\) vuông góc với \(CM\).

Cho tam giác \(ABC\) và đường cao \(AH\) gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BHM\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CNH\) tại \(E\). Chứng minh \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp và \(HE\) đi qua trung điểm của \(MN\).

Trên các cạnh \(BC,CD\) của hình vuông \(ABCD\) ta lấy lần lượt các điểm \(M,N\) sao cho \(\widehat {MAN} = {45^0}\). Đường thẳng \(BD\) cắt các đường thẳng \(AM,AN\) tương ứng tại các điểm \(P,Q\).

     a) Chứng minh rằng các tứ giác \(ABMQ\) và \(ADNP\) nội tiếp.

     b) Chứng minh rằng các điểm \(M,N,Q,P,C\) nằm trên cùng một đường tròn.

Cho điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Một đường thẳng \(d\)ở ngoài \(\left( O \right)\) và vuông góc với \(OM\); \(CM,BM\) cắt \(d\) lần lượt tại \[D,E\]. Chứng minh rằng \(B,C,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) nội tiếp \(\Delta ABC\), tiếp xúc với cạnh \(AB,AC\) lần lượt ở \(D\) và\(E\)

a) Gọi \(O'\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ADE\), tính \(OO'\) theo \(R\).

b) Các đường phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) cắt đường thẳng \(DE\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Chứng minh tứ giác \(BCMN\) nội tiếp được đường tròn.

c) Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{DM}}{{AC}} = \frac{{EN}}{{AB}}\).

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\) và phân giác trong \(AD\) của góc \(\widehat {HAC}\). Phân giác trong góc \(\widehat {ABC}\)cắt \(AH,AD\) lần lượt tại \(M,N\). Chứng minh rằng: \(\widehat {BND} = {90^0}\).

Cho tam giác cân \(ABC\)\((AB = AC)\) \(P\) là điểm trên cạnh đáy \(BC\). Kẻ các đường thẳng \(PE,PD\) lần lượt song song với \(AB,AC\left( {E \in AC,D \in AB} \right)\) gọi \(Q\) là điểm đối xứng với \(P\) qua \(DE\). Chứng minh bốn điểm \(Q,A,B,C\) cùng thuộc một đường tròn.

Cho đường tròn \((O)\). Từ một điểm \(M\). ở ngoài đường tròn \((O)\), kẻ hai tiếp tuyến \(MA,MB\) với đường tròn \((O)(A,B\) là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh \(MAOB\) là tứ giác nội tiếp.

b) Vẽ đường kính \(BK\) của đường tròn \((O)\), \(H\) là điểm trên \(BK\) sao cho \(AH\) vuông góc \(BK\). Điểm \(I\) là giao điểm của \(AH,MK\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(HA\).

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB\). Vẽ tia tiếp tuyến \(Ax\) củng phía với nửa đường tròn đường kính \(AB\). Lấy một điểm \(M\) trên tia \(Ax(M \ne A)\). Vẽ tiếp tuyến \(MC\) với nửa đường tròn \((O)\) ( \(C\) là tiếp điểm). Vẽ \(AC\) cắt \(OM\) tại \(E\), Vẽ \(MB\) cắt nửa đường tròn \((O)\) tại \(D(D \ne B)\).

a) Chứng minh : Tứ giác \(AMDE\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh: \(M{A^2} = MD \cdot MB\).

c) Vẽ \(CH\) vuông góc với \(AB(H \in AB)\). Chứng minh rằng \(MB\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(CH\).

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A{\rm{ }}(AB < AC)\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\). Dựng đường thẳng \[d\] qua \[A\] song song \({\rm{BC}}\), đường thẳng \[d'\] qua \({\rm{C}}\) song song \({\rm{BA}}\), gọi \({\rm{D}}\) là giao điểm của \[d\] và \[d'\]. Dựng \[AE\] vuông góc \[BD\] (\[E\] nằm trên \[BD\]), \[F\] là giao điểm của \[BD\] với đường tròn \[\left( O \right)\]. Chứng minh:

a) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp được trong đường tròn.

b) \(\widehat {{\rm{AOF}}} = 2\widehat {{\rm{CAE}}}\)

c) Tứ giác \({\rm{AECF}}\) là hình bình hành.

d) \({\rm{DF}} \cdot {\rm{DB}} = 2{\rm{A}}{{\rm{B}}^2}\).

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc đều nhọn. Các đường cao \(AK\), \(BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AH\), \(N\) là trung điểm của đoạn \(BC\).

a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) nằm trên cùng một đường tròn.

b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\).

c) Chứng minh \(C{I^2} - I{E^2} = CK.CB\).

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M, tia AM cắt đường tròn (O) tại điểm D.

a) Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh MB² = MD.MA

c) Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AD; tia CE cắt đường tròn (O) tại điểm F. Chứng minh rằng: BF // AM.

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), có ba đường cao \(AK,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp.                         

b) Hai đường thẳng \(BE\) và \(CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) (\(M\) khác \(B\); \(N\) khác \(C\)). Chứng minh: \(MN//EF\).

c) Giả sử hai điểm \(B,C\) cố định, điểm \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) khác \(B,C\)). Tìm vị trí của điểm \(A\) sao cho chu vi tam giác \(KEF\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho tam gíác \(ABC\) nhọn, nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(AB < AC\). Ba đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC(D,E,F\) là chân các đường cao) đồng quy tại điểm \(H\). Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thằng \(AK\).

a) Chứmg minh rằng tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(AKC\) và \(MD\) song song với \(BK\).

c) Già sử hai đỉnh \(B,C\) cố định trên đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và đinh \(A\) di động trển cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MF\) luôn đi qua một điểm cố định và tìm vị trí của đinh \(A\) sao cho diện tích tam giác \(AEH\) lớn nhất.

Trên nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) với \(AB = 2022\), lấy điểm \(C\) (\(C\) khác \(A\) và \(B\)), từ \(C\) kẻ \(CH\) vuông góc \(AB(H \in AB)\). Gọi \(D\) là điểm bất kì trên đoạn \(CH\) (\(D\) khác \(C\) và \(H)\), đường thẳng \(AD\) cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai \(E\).

a) Chứng minh tứ giác BHDE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: \(AD \cdot EC = CD \cdot AC\).

c) Chứng minh: \(AD.AE + BH.BA = {2022^2}\).

d) Khi điểm \(C\) di động trên nửa đường tròn (\(C\) khác \(A\), \(B\) và điểm chính giữa cung \(AB\)), xác định vị trí điểm \(C\) sao cho chu vi tam giác \(COH\) đạt giá trị lớn nhất.

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không đi qua O cắt  (O) tại hai điểm A; B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M; qua M kẻ hai tiếp tuyến MC; MD với đường tròn  (O) ( C; D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh tứ giác OMCH nội tiếp.

b) OM cắt đường tròn (O) tại I và cắt CD tại K. Chứng minh \({\rm{OK}}{\rm{.OM = }}{{\rm{R}}^{\rm{2}}}\)

c) Đường thẳng qua O vuông góc với OM, cắt tia MC và MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.

Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB.

a) Chứng minh rằng M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn

b) Đoạn OM cắt đường tròn tại I. CMR I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.

c) Đường thẳng  qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P, Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.