Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\) và phân giác trong \(AD\) của góc \(\widehat {HAC}\). Phân giác trong góc \(\widehat {ABC}\)cắt \(AH,AD\) lần lượt tại \(M,N\). Chứng minh rằng: \(\widehat {BND} = {90^0}\).

Để chứng minh \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp ta sẽ

chứng minh: \(\widehat {MAN} + \widehat {MEN} = {180^0}\). 

Ta cần tìm sự liên hệ của các góc \(\widehat {MAN};\widehat {MEN}\) với các  góc có sẵn của những tứ giác nội tiếp khác.

Ta có \(\widehat {MEN} = {360^0} - \left( {\widehat {MEH} + \widehat {NEH}} \right) = {360^0} - \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC} + {{180}^0} - \widehat {ACB}} \right) = \widehat {ABC} + \widehat {ACB}\) \( = {180^0} - \widehat {BAC}\) suy ra \(\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^0}\). Hay tứ giác \(AMEN\) là tứ giác nội tiếp.

Kẻ \(MK \bot BC\), giả sử \(HE\) cắt \(MN\) tại \(I\) thì \(IH\) là cát tuyến của hai đường tròn \((BMH)\), \((CNH)\).

Lại có \(MB = MH = MA\) (Tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Suy ra tam giác \(MBH\) cân tại \(M \Rightarrow KB = KH \Rightarrow MK\) luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MBH\). Hay \(MN\) là tiếp tuyến của \((MBH)\) suy ra \(I{M^2} = IE.IH\), tương tự ta cũng có \(MN\) là tiếp tuyến của \(\left( {HNC} \right)\) suy ra \(I{N^2} = IE.IH\) do đó \(IM = IN\).

a). Giả sử các đường cao của tam giác là \(AK,CI\) . Để chứng minh \(AHCP\) là tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh \(\widehat {AHC} + \widehat {APC} = {180^0}\).

Ta có:

     \(\widehat {AHC} = \widehat {IHK}\) ( đối đỉnh)

     \(\widehat {APC} = \widehat {AMC} = \widehat {ABC}\) ( do tính đối xứng và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Như vậy ta chỉ cần chứng minh \(\widehat {ABC} + \widehat {IHK} = {180^0}\) nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác \(BIHK\)là tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh \(N,H,P\) thẳng hàng ta sẽ chứng minh \(\widehat {NHA} + \widehat {AHP} = {180^0}\) do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp.

Thật vậy ta có: \(\widehat {AHP} = \widehat {ACP}\) (tính chất góc nội tiếp), \(\widehat {ACP} = \widehat {ACM}\)  (1) (Tính chất đối xứng) .

Ta thấy vai trò tứ giác \(AHCP\) giống với \(AHBN\) nên ta cũng dễ chứng minh được \(AHBN\) là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {ABN}\) , mặt khác \(\widehat {ABN} = \widehat {ABM}\) (2) (Tính chất đối xứng) .

Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần chứng minh \(\widehat {ABM} + \widehat {ACM} = {180^0}\) nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác \(ABMC\) nội tiếp.

Vậy \(\widehat {NHA} + \widehat {AHP} = {180^0}\) hay \(N,H,P\) thẳng hàng.