Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), có ba đường cao \(AK,\,BE\) và \(CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp.                         

b) Hai đường thẳng \(BE\) và \(CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) (\(M\) khác \(B\); \(N\) khác \(C\)). Chứng minh: \(MN//EF\).

c) Giả sử hai điểm \(B,C\) cố định, điểm \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) khác \(B,C\)). Tìm vị trí của điểm \(A\) sao cho chu vi tam giác \(KEF\) đạt giá trị lớn nhất.

a. Chứng minh tứ giác \(AEHF\) nội tiếp:                      

Xét tứ giác \(AEHF\), có:\[\left\{ \begin{array}{l}HE \bot AC\,\,(gt) \Rightarrow \widehat {AEH} = {90^0}\\HF \bot AB\,\,(gt) \Rightarrow \widehat {AFH} = {90^0}\end{array} \right.\].

\( \Rightarrow \widehat {AEH} + \widehat {AFH} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Vậy tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn.

b. Hai đường thẳng \(BE\) và \(CF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) (\(M\) khác \(B\); \(N\) khác \(C\)). Chứng minh: \(MN//EF\).

Xét tứ giác \(BCEF\), có: \[\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\,(gt) \Rightarrow \widehat {BEC} = {90^0}\\CF \bot AB\,(gt) \Rightarrow \widehat {BFC} = {90^0}\end{array} \right.\].

Tứ giác \(BCEF\) có 2 đỉnh \(E,F\) liên tiếp nhau cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới 1 góc \({90^0}\).

\[ \Rightarrow \] Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

\[ \Rightarrow \] \(\widehat {FEB} = \widehat {BCF}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BF\)) hay \(\widehat {FEB} = \widehat {BCN}\). (1)

 Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có: \(\widehat {BMN} = \widehat {BCN}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BN\)). (2)

Từ (1) và (2) , suy ra \(\widehat {BMN} = \widehat {FEB}\) .

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow MN//EF\). (điều phải chứng minh).

c. Giả sử hai điểm \(B,C\) cố định, điểm \(A\) di động trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A\) khác \(B,C\)). Tìm vị trí của điểm \(A\) sao cho chu vi tam giác \(KEF\) đạt giá trị lớn nhất.

Xét đường tròn đường kính BC, có \(\widehat {FBE} = \widehat {ECF}\) hay \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\)).

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{AM}=\stackrel{⏜}{AN}\Rightarrow AM=AN$.

Mà \(OM = ON = R\) nên \(OA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MN\).

\( \Rightarrow \) \(OA \bot MN\).

Lại có : \(MN//EF\) (câu b)  \( \Rightarrow \)\(OA \bot EF\).

Tương tự: \(OB \bot FK;\,\,OC \bot EK\).

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = {S_{OEAF}} + {S_{OFBK}} + {S_{OECK}} = \frac{1}{2}OA.EF + \frac{1}{2}OB.FK + \frac{1}{2}OC.EK = \frac{1}{2}R.(EF + FK + EK)\)      \( = \frac{1}{2}.R.{C_{\Delta KEF}}\) (trong đó \({C_{\Delta KEF}}\) là chu vi \(\Delta KEF\)).

Khi đó: Chu vi \(\Delta KEF\)lớn nhất khi và chỉ khi diện tích \(\Delta ABC\) lớn nhất.

Mà \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AK.BC\).

Theo đề bài \(BC\) cố định nên \({S_{\Delta ABC}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(AK\) lớn nhất. \( \Leftrightarrow A\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\).

Vậy chu vi \(\Delta KEF\)lớn nhất khi và chỉ\(A\) là điểm chính giữa cung lớn \(BC\).