Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường cao $BE$ và $CF$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$, $BC$ và $OS$ cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh rằng $AB.MB = AE.BS$.

b) Hai tam giác $AEM$ và $ABS$ đồng dạng.

c) Gọi $AM$ cắt $EF$ tại $N$, $AS$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng $NP \bot BC$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 21 bài tập Toán 9 Cánh diều Bài 2. Tứ giác nội tiếp đường tròn có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm (ảnh 1)$

a) Ta chứng minh $\Delta ABE \sim \Delta BSM$.

b) Từ câu a ta có $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{BS}}$ (1)

mà $MB = EM$ (do $\Delta BEC$ vuông tại \[E\] có $M$ là trung điểm của $BC$)

nên \[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EM}}{{BS}}\] Có $\widehat {MOB} = \widehat {BAE};\widehat {EBA} + \widehat {BAE} = {90^0};$

$\widehat {MBO} + \widehat {MOB} = {90^0}$ nên $\widehat {MBO} = \widehat {EBA}$

do đó $\widehat {MEB} = \widehat {OBA} = \widehat {MBE}$. Suy ra $\widehat {MEA} = \widehat {SBA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta AME \sim \Delta ABS$ (đpcm).

c) Dễ thấy $SM$ vuông góc với $BC$ nên ta chứng minh $NP//SM$.

Xét $\Delta ANE$ và $\Delta APB$: Từ câu b) ta có $\Delta AEM \sim \Delta ABS$ nên $\widehat {NAE} = \widehat {PAB}$. Mà $\widehat {AEN} = \widehat {ABP}$ (do tứ giác $BCEF$ nội tiếp). Do đó $\Delta ANE \sim \Delta APB$ nên $\frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{AE}}{{AB}}$.

Lại có $\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( {\Delta AEM \sim \Delta ABS} \right)$. Suy ra $\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AN}}{{AP}}$ nên trong tam giác \[AMS\] có $NP//SM$ (định lý Talet đảo). Do đó bài toán được chứng minh.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC$ và đường cao $AH$ gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CNH$ tại $E$. Chứng minh $AMEN$ là tứ giác nội tiếp và $HE$ đi qua trung điểm của $MN$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ và đường cao $AH$ gọi \( (ảnh 1)$

Để chứng minh $AMEN$ là tứ giác nội tiếp ta sẽ

chứng minh: $\widehat {MAN} + \widehat {MEN} = {180^0}$.

Ta cần tìm sự liên hệ của các góc $\widehat {MAN};\widehat {MEN}$ với các góc có sẵn của những tứ giác nội tiếp khác.

Ta có $\widehat {MEN} = {360^0} - \left( {\widehat {MEH} + \widehat {NEH}} \right) = {360^0} - \left( {{{180}^0} - \widehat {ABC} + {{180}^0} - \widehat {ACB}} \right) = \widehat {ABC} + \widehat {ACB}$ $ = {180^0} - \widehat {BAC}$ suy ra $\widehat {MEN} + \widehat {MAN} = {180^0}$. Hay tứ giác $AMEN$ là tứ giác nội tiếp.

Kẻ $MK \bot BC$, giả sử $HE$ cắt $MN$ tại $I$ thì $IH$ là cát tuyến của hai đường tròn $(BMH)$, $(CNH)$.

Lại có $MB = MH = MA$ (Tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Suy ra tam giác $MBH$ cân tại $M \Rightarrow KB = KH \Rightarrow MK$ luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBH$. Hay $MN$ là tiếp tuyến của $(MBH)$ suy ra $I{M^2} = IE.IH$, tương tự ta cũng có $MN$ là tiếp tuyến của $\left( {HNC} \right)$ suy ra $I{N^2} = IE.IH$ do đó $IM = IN$.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm là điểm $H$. Gọi $M$ là điểm trên dây cung $BC$ không chứa điểm $A$( $M$ khác $B,C$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là các điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB,AC$

a) Chứng minh \[AHCP\] là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh $N,H,P$ thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọ (ảnh 1)$

a). Giả sử các đường cao của tam giác là $AK,CI$ . Để chứng minh $AHCP$ là tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh $\widehat {AHC} + \widehat {APC} = {180^0}$.

Ta có:

$\widehat {AHC} = \widehat {IHK}$ ( đối đỉnh)

$\widehat {APC} = \widehat {AMC} = \widehat {ABC}$ ( do tính đối xứng và góc nội tiếp cùng chắn một cung).

Như vậy ta chỉ cần chứng minh $\widehat {ABC} + \widehat {IHK} = {180^0}$ nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác $BIHK$là tứ giác nội tiếp.

b). Để chứng minh $N,H,P$ thẳng hàng ta sẽ chứng minh $\widehat {NHA} + \widehat {AHP} = {180^0}$ do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp.

Thật vậy ta có: $\widehat {AHP} = \widehat {ACP}$ (tính chất góc nội tiếp), $\widehat {ACP} = \widehat {ACM}$ (1) (Tính chất đối xứng) .

Ta thấy vai trò tứ giác $AHCP$ giống với $AHBN$ nên ta cũng dễ chứng minh được $AHBN$ là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra $\widehat {AHN} = \widehat {ABN}$ , mặt khác $\widehat {ABN} = \widehat {ABM}$ (2) (Tính chất đối xứng) .

Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần chứng minh $\widehat {ABM} + \widehat {ACM} = {180^0}$ nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác $ABMC$ nội tiếp.

Vậy $\widehat {NHA} + \widehat {AHP} = {180^0}$ hay $N,H,P$ thẳng hàng.

Câu 3