Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Chứng minh rằng các tứ giác \(ANOP,BPOM,CMON\) là các tứ giác nội tiếp.

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AM\)(Hình vẽ). Chứng minh \(\widehat {OAC} = \widehat {BAH}\)

Cho tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(I\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác \[AEHF\] nội tiếp đường tròn tâm \(I\);

b) \[ME,{\rm{ }}MF\]tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác \[AEHF\].

Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng\(a\). Góc vuông \[xAy\] thay đổi sao cho tia \(Ax\) cắt đoạn thẳng \(BC\) tại \(M\) và tia \(Ay\) cắt đoạn thẳng \(CD\) kéo dài tại \(N\).

a) Chứng minh hai tam giác \[ABM{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}AND\] bằng nhau;

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Chứng minh \[ABMO{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}ANDO\]là các tứ giác nội tiếp;

c) Chứng minh ba điểm \(B,D,O\) thẳng hàng.

Hình lục giác đều cạnh 6 cm được cho như hình vẽ. Dựng 6 cung tròn, mỗi cung tròn có tâm là một đỉnh của lục giác và có bán kính bằng 3 cm. Hỏi diện tích phần màu xám trong hình vẽ bằng bao nhiêu?

Cho  nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AD\), đường cao \(AH\).

a) Chứng minh $△AHB$ và $△ACD$ đồng dạng.

b) Gọi \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh tương ứng với các đỉnh \(A,B,C\). Chứng minh \({S_{ABC}} = \frac{{{\rm{ }}a.b.c{\rm{ }}}}{{4R}}\).

\(M\) ở chính giữa nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Trên cung nhỏ  lấy điểm \(C\) bất kì. Vẽ tiếp tuyến tại \(B\) của \(\left( O \right)\) cắt \(MC\) tại \(D\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(MB\) và \(AC\). Kẻ \(HI\) vuông góc với \(AB\). Chứng minh rằng \(CA\) là tia phân giác của góc \(\widehat {MCI}\).