Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm. Tính chu vi và diện tích của một hình lục giác đều đã cho.

Ta có tam giác \(AOB\)vuông tại \(O\). Theo định lí Pythagore, ta có: \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\)

hay \({R^2} + {R^2} = 9\)\( \Leftrightarrow 2{{\rm{R}}^2} = 9 \Leftrightarrow {{\rm{R}}^2} = \frac{9}{2} \Rightarrow {\rm{R}} = \sqrt {\frac{9}{2}}  = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}(\;{\rm{cm}})\)

Ta có cạnh của hình lục giác đều bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Gọi \(P\) là chu vi của hình lục giác đều, \(P = 6.\frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 9\sqrt 2 (\;{\rm{cm}})\)

Xét tam giác đều \(KOI\) cạnh \(R = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) nên đường cao \(ON = OK.\sin \widehat {OKN} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó diện tích tam giác \(KOI = \frac{1}{2}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{18\sqrt 3 }}{8}\left( {\;c{m^2}} \right)\)

Tích tam hình lục giác đều là: \(S = 6.\frac{{18\sqrt 3 }}{8} = \frac{{27\sqrt 3 }}{2}\left( {\;c{m^2}} \right)\).