Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2 - 5} \right),\,B\left( { - 3;0;1} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Ta có trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ là:

\({x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} =  - 1;\,{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 + 0}}{2} = 1;\,{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{\left( { - 5} \right) + 1}}{2} =  - 2\)

Vậy \(I\left( { - 1;1; - 2} \right)\). Do đó mệnh đề a) sai.

b) Mặt cầu nhận \(AB\) là đường kính nên nhận \(I\) là tâm mặt cầu.

Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}}  = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)

Vậy mệnh đề b) đúng.

c) Phương trình mặt cầu có tâm là \(A,\) đi qua \(B\) nên có bán kính \(R = AB = \sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}}  = 2\sqrt {14} \)

Do đó phương trình mặt cầu là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {14} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 10z - 26 = 0\)

Vậy mệnh đề c) sai.

d) Phương trình mặt cầu \(S\) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

Gọi \(J\) là tâm mặt cầu \(S\), vì \(J \in Ox \Rightarrow J\left( {a;0;0} \right) \Rightarrow b = 0,c = 0\)

Do đó phương trình mặt cầu có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax + d = 0\).

Vì \(A\left( {1;2; - 5} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) nên ta thay vào được: \( - 2a + d =  - 30\).

Vì \(B\left( { - 3;0;1} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) nên ta thay vào được: \(6a + d =  - 10\).

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d =  - 30\\6a + d =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{5}{2},d =  - 25\).