Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) với tọa độ các điểm \(A\left( {1\,;\,2\,;\, - 4} \right)\), \(B\left( {3\,;\, - 2\,;\,0} \right)\) và mặt cầu \(\left( {S'} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 5 = 0\).

a) Đúng.

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\), suy ra \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).\(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 + 2} \right)}^2}}  = 3\)

Vậy \(I\left( {2\,;\,0\,;\, - 2} \right)\).

b) Sai.

Ta có bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là .

Suy ra phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\).

c) Sai.

Ta có \({\left( {0 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - 0} \right)^2} + {\left( { - 5 + 2} \right)^2} = 14 > {3^2}\).

Vậy điểm \(M\left( {0\,;\,1\,;\, - 5} \right)\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\).

d) Đúng.

Phương trình mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) tương ứng với \(a = 1\), \(b =  - 2\), \(c = 3\), \(d = 5\), do đó \(\left( {S'} \right)\) là phương trình của mặt cầu có tâm \(I'\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)\) và bán kính \(R' = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - 5}  = 3\).